bzoj3751: [NOIP2014]解方程

最新推荐文章于 2019-12-22 22:47:35 发布

蜗角虚名羊

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分类专栏：数学题

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本文介绍了一种解决高次方程的有效方法——通过取模优化枚举过程。利用该方法可以在不使用求根公式的情况下高效寻找方程的解，并提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

题解：

首先要知道的是高次方程无求根公式，所以解这个方程没有公式，套公式只能过30%的数据
一种方法是枚举1到m的正整数，判断行不行。
若用高精度则只能能拿50分，那如何优化呢？取模！
设 $f(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+..+a_n*x^n$
若 $f (x) = 0$ 则 $f (x) m o d p = 0$ （ $p$ 为任意非 $0$ 实数）
随意试几个 $p$ ，若 $f (x) m o d p$ 都是 $0$ ，那 $x$ 很有可能就是方程的解
但有几点要注意：
1。p最好是质数 2。p试得越多，p越大正确率越高，但也会慢一点点，根据实际情况自己调节
如果光是这样，理论上只能过70%的数据，可能是因为洛谷评测机快吧，这样也能过
我提供一个好一点的算法
注意到当 $f (x) m o d p = 0$ 时 $f (x + k * p) m o d p = 0$ （k为整数）
这样可以避免枚举很多无用的解

标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p=33331,q=100000007,k=3333331;
int n,m,i,cnt,ans[1000003],prime[p],y;
ll a[103],b[103],aa,bb,c[103],cc;
char ch;
bool f(int p,int M,ll *t){
    ll x=t[n];
    for (int i=n-1;i>=0;i--) x=(x*p+t[i])%M;
    return x==0;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for (i=0;i<=n;i++){
        aa=0,bb=0,cc=0;
        for (ch=getchar(),y=0;ch<48 || 57<ch;ch=getchar()) if (ch=='-') y=1;
        for (;48<=ch && ch<=57;ch=getchar()) aa=(((aa<<3)+(aa<<1))+(ch^48))%p,bb=(((bb<<3)+(bb<<1))+(ch^48))%q,cc=((cc<<3)+(cc<<1)+(ch^48))%k;
        a[i]=y?(p-aa)%p:aa;
        b[i]=y?(q-bb)%q:bb;
        c[i]=y?(k-cc)%k:cc;
    }
    for (i=1;i<p;i++)
        if (f(i,p,a)) prime[i]=1;
    for (i=1;i<=m;i++)
        if (prime[i%p] && f(i,q,b) && f(i,k,c)) ans[cnt++]=i;
    cout<<cnt;
    for (i=0;i<cnt;i++) printf("\n%d",ans[i]);
}