CF54C First Digit Law Solution_cf44-710c-优快云博客

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本文介绍了一道概率DP题目的解法，通过差分方式计算指定区间内111开头数的概率，并利用概率DP求解n个数中有k%的数是111开头的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

今天整一道概率dp的题来做
题目链接(luogu)
codeforces

题目大意

给一个数 $n$ ，然后给出 $n$ 行，每行 $l_i$ ， $r_i$ ，代表第 $i$ 个数在区间 $l_i,r_i]$ 中，求一个概率使得这 $n$ 个数中有 $k$ %的数是 $1$ 开头的。

题目思路

~~啊哈，一看到这个概率，就想到了那段黑暗的时光~~
咳咳咳，回到正题
首先对于这个区间 $[l, r]$ 之间的数我们可以用差分的方式将它们开头是 $1$ 的概率求出来
令 $d p [i]$ 表示有 $i$ 个数的第 $1$ 位是 $1$ 的概率
然后呢再用一个概率 $d p$ ，考虑每个区间的贡献，将其求出来
最后再暴力枚举 $[1, n]$ 累加满足条件的概率即可

代码

具体实现见代码

typedef long long ll;
ll count(ll n)
{
    ll ans = 0, x = 1, cnt = 0, high = 0, num = n;
    while (num)
    {
        high = num % 10;
        num /= 10;
        cnt++;
    }
    cnt--;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++, x *= 10)
        ans += x;
    if (high > 1)
        ans += x;
    else if (high == 1)
        ans += n - x + 1;
    return ans;
}
const int N = 1005;
double p[N], dp[N], ans;
int n, k;
ll l, r;
int main()
{
    ios :: sync_with_stdio(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> l >> r;
        ll tmp = count(r) - count(l - 1);
        p[i] = 1.0 * tmp / (r - l + 1);
    }
    cin >> k;
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = n; j >= 0; j--)
        {
            dp[j] = dp[j] * (1 - p[i]);//当它不贡献时
            if (j > 0)
                dp[j] += dp[j - 1] * p[i];
        }
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        if (i * 100 >= n * k)
            ans += dp[i];
    printf ("%.15f", ans);
    return 0;
}