sum 题解

sum 题解

题目

题目大意

这道题就是$x_1+x_2+x_3+\cdot \cdot \cdot +x_n=N$,求有几种组合方法。

思路

利用数学方法中的“隔板法”，不难知道结果就是

$C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+\cdot \cdot \cdot +C_{n-1}^r+\cdot \cdot \cdot +C_{n-1}^{n-1}$.

不难发现这是二项式定理的展开式。

根据二项式定理不难得出，结果就是$2^{n-1}$。
所以，这道题就转换为求解$2^{n-1}mod(1e9+7)$

可以用费马小定理+快速幂来解题。

首先用费马小定理将指数进行降幂，然后用快速幂取余求得结果。

代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iostream>
#define pk putchar(' ')
#define ph puts("")
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void rd(T &x)
{
    x = 0;
    int f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    x *= f;
}
template <class T>
void pt(T x)
{
    if (x < 0)
        putchar('-'), x = (~x) + 1;
    if (x > 9)
        pt(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <class T>
T Max(T a, T b)
{
    return a > b ? a : b;
}
template <class T>
T Min(T a, T b)
{
    return a < b ? a : b;
}
int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2;i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1)
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}
const int N = 1e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
char b[N];
int qkpow(int a, ll b)
{
    int res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = 1ll * res * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
ll low_mi(int mod)
{
    int len = strlen(b);
    ll ret = 0;
    for (int i = 0;i < len; i++)
        ret = (ret * 10 + b[i] - 48) % mod;
    return ret;
}
int main()
{
    while (scanf ("%s", b) != EOF)
    {
        ll res = low_mi(mod - 1) - 1;
        pt(qkpow(2, res)), ph;
    }
    return 0;
}

Thanks!