数学表达式学习

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同一篇论文中的符号系统应保证一致性、完备性
从一而终、统一风格, 不再受其它文献的影响
提 "XXX 公式"的时候, 提出者必须是大数学家

标量：$x$
向量：$\mathbf{x}$ \mathbf 、$\mathbf{x}$ \bm、$\mathbf{x}$ \boldsymbol
矩阵、集合：$\mathbf{X}$
向量转置：${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}$ \mathbf{x}^{\mathrm{T}}

1.集合的表示与运算

1.1集合的表示

枚举法

• Ω = { a , b , … , z } \mathbf{\Omega}=\{\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}\} Ω={a,b,…,z}
  \mathbf{\Omega}={\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}}
  非斜体：\textrm
• 两个整数之间的枚举集合，$[1,..,10]$
• X = { x 1 } i = 1 n \mathbf{X}=\{x_1\}_{i=1}^n X={x1​}i=1n​

谓词法

• 基础版：将元素形式放在竖线左边，元素满足的形式放在竖线右边， O = { x ∣ x ∈ N , x m o d    2 = 1 } \mathbf{O}=\{x|x \in \mathbb{N},x \mod 2=1\} O={x∣x∈N,xmod2=1}
• 常用版：将基本限制放在竖线左边，提升颜值 O = { x ∈ N ∣ x m o d    2 = 1 } \mathbf{O}=\{x \in \mathbb{N}|x \mod 2=1\} O={x∈N∣xmod2=1}

常用集合

实数$\mathbb{R}$ \mathbb、$\mathcal{R}$ \mathcal
有理数$\mathbf{Q}$

平凡子集

空集$\varnothing$ \emptyset
全集$\mathbf{U}$
元素与集合之间的关系：$\in$
集合与集合之间的关系：$\subseteq$ \subseteq

1.2 集合的运算

• 并
  ${\bigcup }_{i=1}^n{\mathbf{X}}_i$表示$n$个集合的并
  \bigcup_{i=1}^n \mathbf{X}_i

• 交 $\cap$ \cap

• 差 $\mathbf{X}\setminus \mathbf{Y}$ \setminus

• 补
  $\overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U}\setminus \mathbf{X}$,\overline
  $\neg \mathbf{X}$

• 幂集
  2 A = { B ∣ B ⊆ A } 2^{\mathbf{A}}=\{\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}\} 2A={B∣B⊆A}
  例： A = { 0 , 1 , 2 } \mathbf{A}=\{0,1,2\} A={0,1,2}, 2 A = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 0 , 1 , 2 } } 2^{\mathbf{A}}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} 2A={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}

• 笛卡尔积
  A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \{(a, b) \vert a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B}\} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}
  $(a,b)\ne (b,a)$,\ne
  $|\mathbf{A}\times \mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\times |\mathbf{B}|$
  一维空间$\mathbb{R}$,二维空间${\mathbb{R}}^2$，$n$维空间${\mathbb{R}}^n$

2. 向量与矩阵

2.1 向量

• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$
• $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_m)$,$\mathbf{x}=[x_1,\dots ,x_m]$,向量是有序的，花括号表示无序
• 列向量：${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}=[x_1;x_2;\dots ;x_m]$
• 向量内积：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$,\cdot
• 加权和：$\mathbf{x}{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}$

2.2 矩阵

• 一个n行m的矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$
• $\mathbf{X}=[x_{ij}{]}_{n\times m}$

3. 二元关系