数学表达式——第四天-优快云博客

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本文介绍了树和无向网络的数学定义，以元组形式展示，强调了它们在数据结构中的重要性。通过一个树的例子展示了如何用代码实现，包括节点集合、根节点和父节点映射。此外，还提出了四元组的自动机形式定义树，进一步探讨了树的结构。文章最后讨论了复合数据结构在信息技术中的应用，并以数学表达式为例阐述了其解析过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

元组：类似于java的对象，是一系列基本数据结构（集合，向量，关系）的复合数据结构。

定义无向网络

Definition1.1 An undirected net is a tuple $G=(V,w)G=(\mathrm{V},w)$ , where $V\mathrm{V}$ is the set of nodes, and $w:V×V→Rw:\mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathbb{R}$ is the weight function where $w(v_i, v_j)$ is the weight of the edge $v_i, v_j )$ , $∀vi,vj∈V,w(vi,vj)=w(vj,vi)\forall v_i,v_j\in\mathbf{V}, w(v_i, v_j) = w(v_j,v_i)$ .

自己画一棵树, 将其元组各部分写出来 (特别是函数 $p$ )

Let $ϕ\phi$ be the empty node, a tree is a triple $T=(V,r,p)\mathrm{T}=(\mathbf{V}, r, p)$ where
a） $V={1,2,3,4,6,7,8}≠∅\mathbf{V}=\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}\neq\emptyset$ ;
b) $r=8∈Vr=8\in\mathbf{V}$ is the root node;
c) $p:V∪{ϕ}→V∪{ϕ}p:\mathbf{V} \cup \{\phi\}\to\mathbf{V}\cup\{\phi\}$ is the parent mapping satifying
1. $\phi$ ;
2. $pn(v)=r\forall v \in \mathbf{V }, \exists ! n \geq 0, \textrm{s.t. }p^n(v)=r$

比如： $p(1) = 2; p(2) = 4; p^2(1) = p(p(1)) = p(2) = 4$

针对该树, 将代码中的变量值写出来 (特别是 parent 数组)

public class Tree {

    /**
     * 节点集合，顺序无关
     */
    private int[] nodes;

    /**
     * 根节点. 处于nodes数组的index位置
     */
    private int rootIndex;

    /**
     * 父节点.，第parent[i]存储nodes[i]的父节点为nodes[parent[i]]
     */
    private int[] parent;

    public Tree(int[] nodes, int rootIndex, int[] parent) {
        this.nodes = nodes;
        this.rootIndex = rootIndex;
        this.parent = parent;
    }

    /**
     * 获取值在nodes的index(位置)
     * @param value
     * @return
     */
    public int getIndex(int value){
        for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {
            if (value == nodes[i]){
                return i;
            }
        }
        //没有 返回-1
        return -1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nodes = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8};
        int rootoIndex = 6;
        //-1 表示为空节点
        int[] parent = {1, 3, 1, 6, 3, 3, -1};
        Tree tree = new Tree(nodes, rootoIndex, parent);
        //p^2(1) = 4, 1节点的index为0
        //True
        System.out.println(tree.getIndex(4) == tree.parent[(tree.parent[tree.getIndex(1)])]);
    }
}//Of class Tree

修改了原有的n，使得元素排列可以乱序；
getIndex(int value)方法获取value在nodes数组的位置(0开始)；
tree.parent[(tree.parent[tree.getIndex(1)])]) 和表达式 $p^2(1) = 4$ 惊人的相似；

画一棵三叉树, 并写出它的 child 数组

$[12345−1−1−1−1−1−1−16−1−1−1−1−1−1−1−1]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}$

可以看到叶子节点对应的行都是-1，表示读入任意状态后都为空节点

按照本贴风格, 重新定义树. 提示: 还是应该定义 parent 函数, 字母表里面只有一个元素
用自动机的形式定义树
Definition：let $ϕ\phi$ be the empty node, a tree is a quadruple $BT=(V,r,Σ,p)\mathrm{BT} = (\mathbf{V}, r, \Sigma, p)$ where
$V\mathbf{V}$ is the set of nodes;
$\in \mathbf{V}$ is the root node;
$Σ={p}\Sigma = \{\textrm{p}\}$ is the alphabet;
$p:V×Σ∗→V∪{ϕ}p:\mathbf{V} \times \Sigma^{*}\to \mathbf{V} \cup \{\phi\}$ satisfying
- $p(v,s)=r\forall v\in \mathbf{V}, \exists ! s \in \Sigma^{*}, \textrm{s.t. } p(v,s) = r$

根据图、树、m-叉树的学习, 谈谈你对元组的理解
图对应着多对多的数据结构，树对应着一对多的数据结构，m-叉树是特殊的树，其中的子树有顺序，且不能为空树
而现实生活中诸多的应用场景都是复杂的，上述单一的数据结构并不能满足我们的需求，需要复合的使用，这个就是对应了元组，语义上解释：元数据结构组合使用。
找一篇你们小组的论文来详细分析数学表达式, 包括其涵义, 规范, 优点和缺点.