洛谷P3226-集合选数(构造+状压dp)

最新推荐文章于 2022-08-16 21:34:21 发布

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本文深入解析洛谷P3226题目，通过构造一个矩阵，每行元素为前一行的222倍，每列元素为前一列的333倍，形成一个经典的状压DP问题。文章详细介绍了如何使用状态压缩动态规划求解此类问题，包括矩阵构造、状态预处理和解决方案的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：洛谷P3226

分析：

很巧妙的构造题！
构造思路：构造一个矩阵，矩阵的每行的元素都是前一行元素的 $2$ 倍，每列的元素都是前一列的 $3$ 倍。例如：
$1, 3, 9, 27$
$2, 6, 18, 54$
$4, 12, 36, 108$
观察这个矩阵可以发现，如果选取了一个数，那么这个数的上下左右就不能取了，那么这不就是个经典状压 $d p$ 吗？但有一个问题是，构造的矩阵不一定包含所有的数，所以我们要对全部未构成矩阵的数构造矩阵。最后我们构造的很多个矩阵一定是没有相同元素的，所以总的方案数就是每个构造的矩阵的方案数的乘积。
(构造的时候令每列是前一列的 $3$ 倍，状态数会少一点，跑得更快。)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1000 + 5;
const int inf  = 0x3f3f3f3f;
const LL  mod  = 1000000001;
const LL  INF  = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, r, len, c[20]; 
LL ans, mat[20][20], dp[20][(1 << 17) + 5];
bool vis[(1 << 17) + 5], can[(1 << 17) + 5];

void getMat(LL x){//用r表示最大行数,c[i]表示每行的列数
    memset(c, 0, sizeof c), r = 0;
    for(int i = 1; i <= 20; i++){
        if(i == 1) mat[i][1] = x;
        else mat[i][1] = mat[i - 1][1] * 2;
        if(mat[i][1] > n) break;
        r++, c[i] = 1, vis[mat[i][1]] = true;
        for(int j = 2; j <= 20; j++){
            mat[i][j] = mat[i][j - 1] * 3;
            if(mat[i][j] > n) break;
            c[i] = j, vis[mat[i][j]] = true;
        }
    }
}

LL solve(int r){
    for(int i = 0; i < (1 << c[1]); i++) if(can[i]) dp[1][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= r; i++)
        for(int j = 0; j < (1 << c[i]); j++) if(can[j]){
                dp[i][j] = 0;
                for(int k = 0; k < (1 << c[i - 1]); k++) if(can[k] && !(k & j))
                    dp[i][j] += dp[i - 1][k] % mod;
        }
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << c[r]); i++) res += dp[r][i] % mod;
    return res;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n;
    len = log2(n);
    for(int i = 0; i < (1 << len); i++) if(!(i & (i << 1))) can[i] = true;//预处理可行状态
    ans = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(!vis[i]){//对未构成矩阵的数 构造矩阵
        getMat(i);
        ans = ans * solve(r) % mod;
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}