回溯算法啊啊啊

回溯算法

回溯法是一种组织搜索的一般技术，有“通用的解题法”之称，用它可以系统的搜索一个问题的所有解或任一解。

可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解，既有系统性又有跳跃性。

回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的方法称为回溯法。

 

1 回溯算法的理论基础

1.1 问题的解空间

应用回溯法求解时，需要明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

1.2 回溯法的基本思想

在生成解空间树时，定义以下几个相关概念：

活结点：如果已生成一个结点而它的所有儿子结点还没有全部生成，则这个结点叫做活结点。

扩展结点：当前正在生成其儿子结点的活结点叫扩展结点（正扩展的结点）。

死结点：不再进一步扩展或者其儿子结点已全部生成的结点就是死结点。

在确定了解空间的组织结构后，回溯从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

在回溯法搜索解空间树时，通常采用两种策略（剪枝函数）避免无效搜索以提高回溯法的搜索效率：

1. 用约束函数在扩展结点处减去不满足约束条件的子树；
2. 用限界函数减去不能得到最优解的子树。

1.3 子集树与排列树

有时问题是要从一个集合的所有子集中搜索一个集合，作为问题的解。或者从一个集合的排列中搜索一个排列，作为问题的解。

回溯算法可以很方便地遍历一个集合的所有子集或者所有排列。

当问题是要计算n个元素的子集，以便达到某种优化目标时，可以把这个解空间组织成一棵子集树。

例如，n个物品的0-1背包问题相应的解空间树就是一棵子集树。

这类子集树通常有2n个叶结点，结点总数为2n +1-1。

遍历子集树的任何算法，其计算时间复杂度都是Ω(2n)。

当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，可以把这个解空间组织成一棵排列树。

排列树通常有n!个叶子结点。因此遍历排列树时，其计算时间复杂度是Ω(n!) 。

例如，旅行商问题就是一棵排列树。

2 装载问题

给定n个集装箱要装上一艘载重量为c的轮船，其中集装箱i的重量为wi。集装箱装载问题要求确定在不超过轮船载重量的前提下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

3 0－1背包问题

给定一个物品集合s＝｛1，2，3，…，n｝，物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量为W，即最大载重量不超过W。在限定的总重量W内，我们如何选择物品，才能使得物品的总价值最大。

 

4 图的m着色问题

  给定无向连通图G=(V, E)和m种不同的颜色，用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中相邻的两个顶点有不同的颜色?

这个问题是图的m可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。

编程计算：给定图G=(V, E)和m种不同的颜色，找出所有不同的着色法和着色总数。

5 n皇后问题

在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何两个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

编程要求：找出一个n×n格的棋盘上放置n个皇后并使其不能互相攻击的所有方案。

6 旅行商问题

  是指一销售商从n个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余n—1个城市并回到原出发点，在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条。本题假定该旅行商从第1个城市出发。

7 流水作业调度问题

给定n个作业的集合j＝{j1，j2，…，jn}。

每一个作业ji都有两道工序，分别在两台机器上完成。一台机器一次只能处理一道工序，并且工序一旦开始，就必须进行下去直到完成。

每一个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。

作业ji需要机器j的处理时间为t[i][j]，其中i＝ 1, 2, …, n ，j＝1, 2。对于一个确定的作业调度，设F[i][j]是作业i在机器j上的完成处理的时间，所有作业在机器2上完成处理的时间之和定义如下：

 

称为该作业调度的完成时间之和。

由于只有两台机器，作业的处理顺序极大地影响结束时间f。流水作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

 

8 子集和问题

  子集和问题的一个实例为＜S，c＞。其中，S＝{w1, w2, …, wn}是一个正整数的集合，c是一个正整数。子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使得S1的和为c。

试设计一个解子集和问题的回溯法。

编程任务：对于给定的正整数集合S＝{w1, w2, …, wn}和正整数c，编程计算S的一个子集S1，使得S1的和为c。

 

9 ZOJ1145-Dreisam Equations

纸片上的符号只有数字，括号和等号。有足够的证据可以证明Dreisamwuste人只懂得三种运算符的运算：加，减和乘，而且算术运算没有优先规则：

他们只是严格地将每项数据从左边计算到右边。

例如，3＋3×5，他们的计算结果是30，而不是18。

但现在纸片上的等式里没有任何算术运算符。

因此如果这些假设是正确的，而且这些数字能形成等式，那么这些运算符早已随时间而消逝了。