回溯算法详解与应用实例-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/triggerV/article/details/123584443

回溯算法

1. 理论基础

回溯函数就是递归函数，指的是一个函数。

回溯法解决的问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就是构成的树的深度。

回溯法的模板：

习惯是函数起名字为backtracking，返回值一般为void。
for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

2. 组合问题

题目：给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

题目分析：如果k = 2就两层for循环，k = 3就三层for循环，以此类推，暴力解决都很难解决。而回溯法可以抽象为树形结构，用树形结构来理解就很容易。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三步骤

递归函数的返回值及其参数：定义两个全局变量，一个存放符合条件单一结果，一个存放符合条结果的集合。函数里要有两个参数：n和k，还需要一个int型的startIndex，用来记录本层递归集合要从哪里开始遍历。每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。
终止条件：到达所谓的叶子节点，数组path的大小达到k就说明找到了一个子集大小为k的组合，用result数组存下来，终止本层递归。
单层搜索的过程：搜索过程是个树型结构的遍历过程，for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。可以看出：backtracking通过不断调用自己一直往深处遍历，遇到叶子节点就返回。

可以优化的地方：如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。优化的过程：

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历。（因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ // 控制树的横向遍历
            path.add(i);  // 处理节点 
            combineHelper(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
            path.removeLast(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
}

3. 组合总和III

题目：找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

题目分析：和上一道题类似。

回溯步骤：

递归函数的参数：仍然需要path和result全局变量，还需要targetSum（int）目标和，也就是题目中的n、k（int）就是题目中要求k个数的集合、sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和、startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。
终止条件：k限制了树的深度。如果此时path里收集到的元素和（sum）和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。
单层搜索过程：path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。别忘了处理过程和回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！

剪枝操作：如果已选的元素总和已经大于n了，就没有往后遍历的必要了。

//模板方法
class Solution {
	List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
	LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

	public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
		backTracking(n, k, 1, 0);
		return result;
	}

	private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {
		// 减枝
		if (sum > targetSum) {
			return;
		}

		if (path.size() == k) {
			if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));
			return;
		}
		
		// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1
		for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {
			path.add(i);
			sum += i;
			backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);
			//回溯
			path.removeLast();
			//回溯
			sum -= i;
		}
	}
}

//其他方法
class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    List<Integer> list = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        res.clear();
        list.clear();
        backtracking(k, n, 9);
        return res;
    }

    private void backtracking(int k, int n, int maxNum) {
        if (k == 0 && n == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(list));
            return;
        }

        // 因为不能重复，并且单个数字最大值是maxNum，所以sum最大值为
        // （maxNum + (maxNum - 1) + ... + (maxNum - k + 1)） == k * maxNum - k*(k - 1) / 2
        if (maxNum == 0
                || n > k * maxNum - k * (k - 1) / 2
                || n < (1 + k) * k / 2) {
            return;
        }
        list.add(maxNum);
        backtracking(k - 1, n - maxNum, maxNum - 1);
        list.remove(list.size() - 1);
        backtracking(k, n, maxNum - 1);
    }

}

4. 电话号码的字母组合

题目：给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

在这里插入图片描述

题目分析：

数字和字母的映射：用map或者定义一个二维数组。
回溯步骤：
- 函数参数:一个字符串s来收集叶子节点的结果，result数组保存起来。还有题目给的digits，以及int型的index：记录遍历到第几个数字了，就是用来遍历digits的，同时也表示了树的深度。
- 终止条件：index等于输入的数字的个数了，就收集结果，结束本层递归。
- 单程遍历逻辑：要取index指向的数字，并找到对应的字符集，for循环来处理这个字符集，不像之前题是从startIndex开始遍历的（本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而前两道题都是求一个集合中的组合。异常情况在面试时也要有所提及。

class Solution {

    //设置全局列表存储最后的结果
    List<String> list = new ArrayList<>();

    public List<String> letterCombinations(String digits) {
        if (digits == null || digits.length() == 0) {
            return list;
        }
        //初始对应所有的数字，为了直接对应2-9，新增了两个无效的字符串""
        String[] numString = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};
        //迭代处理
        backTracking(digits, numString, 0);
        return list;

    }

    //每次迭代获取一个字符串，所以会涉及大量的字符串拼接，所以这里选择更为高效的 StringBuild
    StringBuilder temp = new StringBuilder();

    //比如digits如果为"23",num 为0，则str表示2对应的 abc
    public void backTracking(String digits, String[] numString, int num) {
        //遍历全部一次记录一次得到的字符串
        if (num == digits.length()) {
            list.add(temp.toString());
            return;
        }
        //str 表示当前num对应的字符串
        String str = numString[digits.charAt(num) - '0'];
        for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
            temp.append(str.charAt(i));
            //c
            backTracking(digits, numString, num + 1);
            //剔除末尾的继续尝试
            temp.deleteCharAt(temp.length() - 1);
        }
    }
}

5. 组合总和

题目：给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。**candidates 中的数字可以无限制重复被选取。**说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

题目分析：和之前不同的是元素可以反复被选取，因而在回溯时startIndex仍然是i。

回溯步骤：

递归函数参数：二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。还有题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target，再定义int型的sum变量来统计单一结果path里的总和。还需要startIndex来控制for循环的起始位置（在求组合的情况下，一个集合来求组合就要用startIndex；多个集合求组合，集合之间互不影响就不用。排列问题就另外再说。
终止条件：sum大于target和sum等于target。
单层搜索的逻辑：单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数。

剪枝优化：对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

// 剪枝优化
class Solution {
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
        backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }

    public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
        // 找到了数字和为 target 的组合
        if (sum == target) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
            // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
            if (sum + candidates[i] > target) break;
            path.add(candidates[i]);
            backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素
        }
    }
}

6. 组合总和II

题目：给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

题目分析：与上一道题不同的是：candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次；但candidates的元素是有重复的。

去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。元素在同一个组合内可以重复选取，但是两个组合不可以。所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

在这里插入图片描述

回溯步骤：

参数：和上一道题一样，但是要多加一个bool型数组used来记录同一树枝上的元素是否使用过。
终止条件：sum > target 和 sum == target
单层搜索：
如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。此时for循环里就应该做continue的操作。

注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作。

//使用标记数组
class Solution {
    List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
    Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
    int sum = 0;

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        //为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
        Arrays.sort(candidates);
        //加标志数组，用来辅助判断同层节点是否已经遍历
        boolean[] flag = new boolean[candidates.length];
        backTracking(candidates, target, 0, flag);
        return lists;
    }

    public void backTracking(int[] arr, int target, int index, boolean[] flag) {
        if (sum == target) {
            lists.add(new ArrayList(deque));
            return;
        }
        for (int i = index; i < arr.length && arr[i] + sum <= target; i++) {
            //出现重复节点，同层的第一个节点已经被访问过，所以直接跳过
            if (i > 0 && arr[i] == arr[i - 1] && !flag[i - 1]) {
                continue;
            }
            flag[i] = true;
            sum += arr[i];
            deque.push(arr[i]);
            //每个节点仅能选择一次，所以从下一位开始
            backTracking(arr, target, i + 1, flag);
            int temp = deque.pop();
            flag[i] = false;
            sum -= temp;
        }
    }
}

直接用startIndex来去重也是可以的，就不用used数组了。

class Solution {
  List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
  int sum = 0;
  
  public List<List<Integer>> combinationSum2( int[] candidates, int target ) {
    //为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
    Arrays.sort( candidates );
    backTracking( candidates, target, 0 );
    return res;
  }
  
  private void backTracking( int[] candidates, int target, int start ) {
    if ( sum == target ) {
      res.add( new ArrayList<>( path ) );
      return;
    }
    for ( int i = start; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= target; i++ ) {
      //正确剔除重复解的办法
      //跳过同一树层使用过的元素
      if ( i > start && candidates[i] == candidates[i - 1] ) {
        continue;
      }

      sum += candidates[i];
      path.add( candidates[i] );
      // i+1 代表当前组内元素只选取一次
      backTracking( candidates, target, i + 1 );

      int temp = path.getLast();
      sum -= temp;
      path.removeLast();
    }
  }
}

7. 分割回文串

题目：给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。返回 s 所有可能的分割方案。

题目分析：递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

在这里插入图片描述

回溯步骤：

参数：全局变量数组path存放切割后回文的子串，二维数组result存放结果集。还需要startIndex，因为切割过的地方，不能重复切割，和组合问题也是保持一致的。
终止条件：从树形结构的图中可以看出：切割线切到了字符串最后面，说明找到了一种切割方法，此时就是本层递归的终止终止条件。在处理组合问题的时候，递归参数需要传入startIndex，表示下一轮递归遍历的起始位置，这个startIndex就是切割线。

在这里插入图片描述

单层搜索的逻辑：在for (int i = startIndex; i < s.size(); i++)循环中，我们定义了起始位置startIndex，那么 [startIndex, i] 就是要截取的子串。首先判断这个子串是不是回文，如果是回文，就加入在vector<string> path中，path用来记录切割过的回文子串。注意切割过的位置，不能重复切割，所以，backtracking(s, i + 1); 传入下一层的起始位置为i + 1。

class Solution {
    List<List<String>> lists = new ArrayList<>();
    Deque<String> deque = new LinkedList<>();

    public List<List<String>> partition(String s) {
        backTracking(s, 0);
        return lists;
    }

    private void backTracking(String s, int startIndex) {
        //如果起始位置大于s的大小，说明找到了一组分割方案
        if (startIndex >= s.length()) {
            lists.add(new ArrayList(deque));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
            //如果是回文子串，则记录
            if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {
                String str = s.substring(startIndex, i + 1);
                deque.addLast(str);
            } else {
                continue;
            }
            //起始位置后移，保证不重复
            backTracking(s, i + 1);
            deque.removeLast();
        }
    }
    //判断是否是回文串
    private boolean isPalindrome(String s, int startIndex, int end) {
        for (int i = startIndex, j = end; i < j; i++, j--) {
            if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

8.复原ip地址

题目：给定一个只包含数字的字符串，复原它并返回所有可能的 IP 地址格式。有效的 IP 地址正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 ‘.’ 分隔。例如：“0.1.2.201” 和 “192.168.1.1” 是有效的 IP 地址，但是 “0.011.255.245”、“192.168.1.312” 和 “192.168@1.1” 是无效的 IP 地址。

只要意识到这是个切割问题，切割问题就可以使用回溯搜索法把所有可能性搜出来。

回溯步骤：

递归参数：startIndex一定是需要的，因为不能重复分割，记录下一层递归分割的起始位置。还需要一个变量pointNum，记录添加逗点的数量。
终止条件：本题要求只会分成4段，所以不能用切割线切到最后作为终止条件，而是分割的段数作为终止条件。pointNum表示逗点数量，pointNum为3说明字符串分成了4段了。然后验证一下第四段是否合法，如果合法就加入到结果集里。
单层搜索：在for (int i = startIndex; i < s.size(); i++)循环中 [startIndex, i] 这个区间就是截取的子串，需要判断这个子串是否合法。如果合法就在字符串后面加上符号.表示已经分割；如果不合法就结束本层循环。

递归和回溯的过程：

递归调用时，下一层递归的startIndex要从i+2开始（因为需要在字符串中加入了分隔符.），同时记录分割符的数量pointNum 要 +1。
回溯的时候，就将刚刚加入的分隔符. 删掉就可以了，pointNum也要-1。

判断子串是否合法，主要考虑到如下三点：

段位以0为开头的数字不合法
段位里有非正整数字符不合法
段位如果大于255了不合法

class Solution {
    List<String> result = new ArrayList<>();

    public List<String> restoreIpAddresses(String s) {
        if (s.length() > 12) return result; // 算是剪枝了
        backTrack(s, 0, 0);
        return result;
    }

    // startIndex: 搜索的起始位置， pointNum:添加逗点的数量
    private void backTrack(String s, int startIndex, int pointNum) {
        if (pointNum == 3) {// 逗点数量为3时，分隔结束
            // 判断第四段⼦字符串是否合法，如果合法就放进result中
            if (isValid(s,startIndex,s.length()-1)) {
                result.add(s);
            }
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
            if (isValid(s, startIndex, i)) {
                s = s.substring(0, i + 1) + "." + s.substring(i + 1);    //在str的后⾯插⼊⼀个逗点
                pointNum++;
                backTrack(s, i + 2, pointNum);// 插⼊逗点之后下⼀个⼦串的起始位置为i+2
                pointNum--;// 回溯
                s = s.substring(0, i + 1) + s.substring(i + 2);// 回溯删掉逗点
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    // 判断字符串s在左闭⼜闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
    private Boolean isValid(String s, int start, int end) {
        if (start > end) {
            return false;
        }
        if (s.charAt(start) == '0' && start != end) { // 0开头的数字不合法
            return false;
        }
        int num = 0;
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            if (s.charAt(i) > '9' || s.charAt(i) < '0') { // 遇到⾮数字字符不合法
                return false;
            }
            num = num * 10 + (s.charAt(i) - '0');
            if (num > 255) { // 如果⼤于255了不合法
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

//方法二：比上面的方法时间复杂度低，更好地剪枝，优化时间复杂度
class Solution {
    List<String> result = new ArrayList<String>();
	StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();

	public List<String> restoreIpAddresses(String s) {
		restoreIpAddressesHandler(s, 0, 0);
		return result;
	}

	// number表示stringbuilder中ip段的数量
	public void restoreIpAddressesHandler(String s, int start, int number) {
		// 如果start等于s的长度并且ip段的数量是4，则加入结果集，并返回
		if (start == s.length() && number == 4) {
			result.add(stringBuilder.toString());
			return;
		}
		// 如果start等于s的长度但是ip段的数量不为4，或者ip段的数量为4但是start小于s的长度，则直接返回
		if (start == s.length() || number == 4) {
			return;
		}
		// 剪枝：ip段的长度最大是3，并且ip段处于[0,255]
		for (int i = start; i < s.length() && i - start < 3 && Integer.parseInt(s.substring(start, i + 1)) >= 0
				&& Integer.parseInt(s.substring(start, i + 1)) <= 255; i++) {
			// 如果ip段的长度大于1，并且第一位为0的话，continue
			if (i + 1 - start > 1 && s.charAt(start) - '0' == 0) {
				continue;
			}
			stringBuilder.append(s.substring(start, i + 1));
			// 当stringBuilder里的网段数量小于3时，才会加点；如果等于3，说明已经有3段了，最后一段不需要再加点
			if (number < 3) {
				stringBuilder.append(".");
			}
			number++;
			restoreIpAddressesHandler(s, i + 1, number);
			number--;
			// 删除当前stringBuilder最后一个网段，注意考虑点的数量的问题
			stringBuilder.delete(start + number, i + number + 2);
		}
	}
}

9. 子集问题

子集

题目：给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。说明：解集不能包含重复的子集。

如果把子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！

子集既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！

回溯步骤：

递归函数：全局变量数组path为子集收集元素，二维数组result存放子集组合。（也可以放到递归函数参数里）递归函数参数在上面讲到了，需要startIndex。
终止条件：剩余集合为空的时候，就是叶子节点。startIndex已经大于数组的长度了，就终止了，因为没有元素可取了。其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了。
单层搜索：求取子集问题，不需要任何剪枝！因为子集就是要遍历整棵树。

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        if (nums.length == 0){
            result.add(new ArrayList<>());
            return result;
        }
        subsetsHelper(nums, 0);
        return result;
    }

    private void subsetsHelper(int[] nums, int startIndex){
        result.add(new ArrayList<>(path));//「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。
        if (startIndex >= nums.length){ //终止条件可不加
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){
            path.add(nums[i]);
            subsetsHelper(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

子集II

题目：给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。说明：解集不能包含重复的子集。

和上一道题区别就是集合里有重复元素了，而且求取的子集要去重。

同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集！

class Solution {

  List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
  
  public List<List<Integer>> subsetsWithDup( int[] nums ) {
    Arrays.sort( nums );
    subsetsWithDupHelper( nums, 0 );
    return res;
  }


  private void subsetsWithDupHelper( int[] nums, int start ) {
    res.add( new ArrayList<>( path ) );

    for ( int i = start; i < nums.length; i++ ) {
        // 跳过当前树层使用过的、相同的元素
      if ( i > start && nums[i - 1] == nums[i] ) {
        continue;
      }
      path.add( nums[i] );
      subsetsWithDupHelper( nums, i + 1 );
      path.removeLast();
    }
  }

}

10.递增子序列

题目：给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

说明:

给定数组的长度不会超过15。
数组中的整数范围是 [-100,100]。
给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

回溯步骤：

递归函数：需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。
终止条件：类似于自己问题，也是要遍历树形结构每一个节点，所以也可以不加终止条件。但本题收集结果有所不同，题目要求子序列大小至少是2。
```
if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
}
```
单层搜索：同一父节点下的同层上使用过的元素就不能在使用了

class Solution {
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backtracking(nums,0);
        return res;
    }

    private void backtracking (int[] nums, int start) {
        if (path.size() > 1) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }

        int[] used = new int[201];
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
                    (used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
            used[nums[i] + 100] = 1;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

11. 全排列问题

全排列

题目：给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

输入: [1,2,3]
输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]

回溯步骤：

递归函数：首先排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。但排列问题需要一个used数组，标记已经选择的元素。
终止条件：可以看出叶子节点，就是收割结果的地方。当收集元素的数组path的大小达到和nums数组一样大的时候，说明找到了一个全排列，也表示到达了叶子节点。

  // 此时说明找到了一组
  if (path.size() == nums.size()) {
      result.push_back(path);
      return;
  }

单层搜索：最大的不同就是for循环里不用startIndex了。而used数组，其实就是记录此时path里都有哪些元素使用了，一个排列里一个元素只能使用一次。

  for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
      if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
      used[i] = true;
      path.push_back(nums[i]);
      backtracking(nums, used);
      path.pop_back();
      used[i] = false;
  }

class Solution {

    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
    boolean[] used;
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        if (nums.length == 0){
            return result;
        }
        used = new boolean[nums.length];
        permuteHelper(nums);
        return result;
    }

    private void permuteHelper(int[] nums){
        if (path.size() == nums.length){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++){
            if (used[i]){
                continue;
            }
            used[i] = true;
            path.add(nums[i]);
            permuteHelper(nums);
            path.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

全排列II

题目：给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]

与上一道题区别在与给定一个可包含重复数字的序列，要返回所有不重复的全排列。

强调的是去重一定要对元素进行排序，这样我们才方便通过相邻的节点来判断是否重复使用了。

一般来说：组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！

class Solution {
    //存放结果
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    //暂存结果
    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        Arrays.sort(nums);
        backTrack(nums, used);
        return result;
    }

    private void backTrack(int[] nums, boolean[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同⼀树⽀nums[i - 1]使⽤过
            // used[i - 1] == false，说明同⼀树层nums[i - 1]使⽤过
            // 如果同⼀树层nums[i - 1]使⽤过则直接跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            //如果同⼀树⽀nums[i]没使⽤过开始处理
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;//标记同⼀树⽀nums[i]使⽤过，防止同一树枝重复使用
                path.add(nums[i]);
                backTrack(nums, used);
                path.remove(path.size() - 1);//回溯，说明同⼀树层nums[i]使⽤过，防止下一树层重复
                used[i] = false;//回溯
            }
        }
    }
}

12. 重新安排行程

题目：给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

提示：

如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 [“JFK”, “LGA”] 与 [“JFK”, “LGB”] 相比就更小，排序更靠前
所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
假定所有机票至少存在一种合理的行程。
所有的机票必须都用一次且只能用一次。

这道题目有几个难点：

一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环。
- 出发机场和到达机场也会重复的，如果在解题的过程中没有对集合元素处理好，就会死循环。
有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢？
- 存放映射关系可以定义为unordered_map<string, map<string, int>> targets。
- 如果使用unordered_map<string, multiset<string>> targets 遍历multiset的时候，不能删除元素，一旦删除元素，迭代器就失效了。再说一下为什么一定要增删元素呢，正如开篇我给出的图中所示，出发机场和到达机场是会重复的，搜索的过程没及时删除目的机场就会死循环。
- 在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，**可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。**如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。
使用回溯法（也可以说深搜）的话，那么终止条件是什么呢？
- 递归函数：使用unordered_map<string, map<string, int>> targets; 来记录航班的映射关系，我定义为全局变量。当然把参数放进函数里传进去也是可以的，我是尽量控制函数里参数的长度。参数里还需要ticketNum，表示有多少个航班（终止条件会用上）。**函数返回值我用的是bool！**因为我们只需要找到一个行程，就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线。
- 终止条件：我们回溯遍历的过程中，遇到的机场个数，如果达到了（航班数量+1），那么我们就找到了一个行程，把所有航班串在一起了。
```
if (result.size() == ticketNum + 1) {
    return true;
}
```
- 单层搜索：要找到一个对数据进行排序的容器，而且还要容易增删元素，迭代器还不能失效。（可以看出通过unordered_map<string, map<string, int>> targets里的int字段来判断这个集合里的机场是否使用过，这样避免了直接去删元素。

     for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]]) {
         if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了
             result.push_back(target.first);
             target.second--;
             if (backtracking(ticketNum, result)) return true;
             result.pop_back();
             target.second++;
         }
     }

class Solution {
    private Deque<String> res;
    private Map<String, Map<String, Integer>> map;

    private boolean backTracking(int ticketNum){
        if(res.size() == ticketNum + 1){
            return true;
        }
        String last = res.getLast();
        if(map.containsKey(last)){//防止出现null
            for(Map.Entry<String, Integer> target : map.get(last).entrySet()){
                int count = target.getValue();
                if(count > 0){
                    res.add(target.getKey());
                    target.setValue(count - 1);
                    if(backTracking(ticketNum)) return true;
                    res.removeLast();
                    target.setValue(count);
                }
            }
        }
        return false;
    }

    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
        map = new HashMap<String, Map<String, Integer>>();
        res = new LinkedList<>();
        for(List<String> t : tickets){
            Map<String, Integer> temp;
            if(map.containsKey(t.get(0))){
                temp = map.get(t.get(0));
                temp.put(t.get(1), temp.getOrDefault(t.get(1), 0) + 1);
            }else{
                temp = new TreeMap<>();//升序Map
                temp.put(t.get(1), 1);
            }
            map.put(t.get(0), temp);

        }
        res.add("JFK");
        backTracking(tickets.size());
        return new ArrayList<>(res);
    }
}

13. N皇后

题目：n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

首先来看一下皇后们的约束条件：

不能同行
不能同列
不能同斜线

二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

回溯步骤：

递归函数：定义全局变量二维数组result来记录最终结果。参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。
终止条件：当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。
```
if (row == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}
```
单层搜索：递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

  for (int col = 0; col < n; col++) {
      if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
          chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
          backtracking(n, row + 1, chessboard);
          chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
      }
  }

验证棋盘是否合法，按照如下标准去重：
1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线（45度和135度角）
  
  （没有在同行进行检查：因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。

bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
      int count = 0;
      // 检查列
      for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
          if (chessboard[i][col] == 'Q') {
              return false;
          }
      }
      // 检查 45度角是否有皇后
      for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
          if (chessboard[i][j] == 'Q') {
              return false;
          }
      }
      // 检查 135度角是否有皇后
      for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
          if (chessboard[i][j] == 'Q') {
              return false;
          }
      }
      return true;
  }

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for (char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backTrack(n, 0, chessboard);
        return res;
    }


    public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if (row == n) {
            res.add(Array2List(chessboard));
            return;
        }

        for (int col = 0;col < n; ++col) {
            if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backTrack(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';
            }
        }

    }


    public List Array2List(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : chessboard) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }


    public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        // 检查列
        for (int i=0; i<row; ++i) { // 相当于剪枝
            if (chessboard[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查45度对角线
        for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查135度对角线
        for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

14. 解数独

题目：编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。一个数独的解法需遵循如下规则：数字 1-9 在每一行只能出现一次。数字 1-9 在每一列只能出现一次。数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。空白格用 ‘.’ 表示。

提示：

给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
你可以假设给定的数独只有唯一解。
给定数独永远是 9x9 形式的。

本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

回溯步骤：

递归函数：递归函数的返回值需要是bool类型（因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值
终止条件：递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！
单层搜索：在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归（也就是两个for循环嵌套着递归）一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

注意return false的地方，这里放return false 是有讲究的。

因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！

那么会直接返回， 这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！

  bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {
      for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行
          for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
              if (board[i][j] != '.') continue;
              for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适
                  if (isValid(i, j, k, board)) {
                      board[i][j] = k;                // 放置k
                      if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
                      board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k
                  }
              }
              return false;                           // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
          }
      }
      return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
  }

判断棋盘是否合法：

同行是否重复
同列是否重复
9宫格里是否重复

bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {
    for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
        if (board[row][i] == val) {
            return false;
        }
    }
    for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
        if (board[j][col] == val) {
            return false;
        }
    }
    int startRow = (row / 3) * 3;
    int startCol = (col / 3) * 3;
    for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
        for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
            if (board[i][j] == val ) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

class Solution {
    public void solveSudoku(char[][] board) {
        solveSudokuHelper(board);
    }

    private boolean solveSudokuHelper(char[][] board){
        //「一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，
        // 一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！」
        for (int i = 0; i < 9; i++){ // 遍历行
            for (int j = 0; j < 9; j++){ // 遍历列
                if (board[i][j] != '.'){ // 跳过原始数字
                    continue;
                }
                for (char k = '1'; k <= '9'; k++){ // (i, j) 这个位置放k是否合适
                    if (isValidSudoku(i, j, k, board)){
                        board[i][j] = k;
                        if (solveSudokuHelper(board)){ // 如果找到合适一组立刻返回
                            return true;
                        }
                        board[i][j] = '.';
                    }
                }
                // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
                return false;
                // 因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！
                // 那么会直接返回， 「这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！」
            }
        }
        // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
        return true;
    }

    /**
     * 判断棋盘是否合法有如下三个维度:
     *     同行是否重复
     *     同列是否重复
     *     9宫格里是否重复
     */
    private boolean isValidSudoku(int row, int col, char val, char[][] board){
        // 同行是否重复
        for (int i = 0; i < 9; i++){
            if (board[row][i] == val){
                return false;
            }
        }
        // 同列是否重复
        for (int j = 0; j < 9; j++){
            if (board[j][col] == val){
                return false;
            }
        }
        // 9宫格里是否重复
        int startRow = (row / 3) * 3;
        int startCol = (col / 3) * 3;
        for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++){
            for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++){
                if (board[i][j] == val){
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
}