卷积的理解、卷积公式的推导以及计算

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一、自叙

   说来惭愧，“卷积”这两个字本人从大学专业课第一次接触到现在一直没有理解。出来工作后也经常听说卷积，这几年开始流行的人工智能，也经常听到“卷积神经网络”这个词。所以我时常在想：卷积到底是啥意思？为什么好多领域都在用卷积？为什么卷积公式是这样？到底怎样卷积？带着这样的疑问，开始看各种视频，各种博文来理解卷积。因此写下此篇文章来记录一下。

二、卷积的定义

  卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学运算，其本质是一种特殊的积分变换，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。（源于：百度百科）

  上面是百度百科给的定义，第一次接触的时候也是一头雾水，就看懂了一句：卷积是一种数学运算。

  既然卷积是一种数学运算，那么肯定有公式吧。我以信号与系统里的卷积公式来解释。

• 连续LTI系统下的卷积公式为：
  

• 离散LTI系统下的卷积公式为：
  
  看到这里依然云里雾里的，接下来我们一步步解释。

三、卷积公式的推导

3.1 什么是LTI系统？

  LTI系统也叫线性时不变系统。L为(linear)单词的首字母，意思为线性，TI为(time invariant)的两个单词首字母，意思为时不变。

  如何理解LTI系统？

1. 首先来看什么是线性系统，前提我们要了解什么是齐次性和叠加性。

• 齐次性：
  如果一个输入$x_1(t)$经过一个系统后输出$y_1(t)$，则有输入$\alpha x_1(t)$经过此系统后输出$\alpha y_1(t)$。称此系统满足齐次性。
  
  

• 叠加性：
    如果一个输入$x_1(t)$经过一个系统输出$y_1(t)$，另一个输入$x_2(t)$经过此系统输出$y_2(t)$