「背包问题-步入」[NOIP2006] 金明的预算方案

[NOIP2006]金明的预算方案

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24213/1024

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：$v[j1]\ast w[j1]+v[j2]\ast w[j2]+\dots +v[jk]\ast w[jk]$。（其中*为乘号）
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入描述

第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m（其中N（ < 32000 ）表示总钱数，m（ < 60 ）为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数v p q（其中v表示该物品的价格（v < 10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出描述

输出一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

样例

#1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

2200

提示

解析

01 背包的变式问题，一般01背包考虑放或不放，两种决策，而现在是五种：

• 不放：$dp[j]=dp[j]$
• 选一个主件：$dp[j]=max(dp[j],dp[j-C[i]]+W[i]);$
• 选一个主件和附件1：$dp[j]=max(dp[j],dp[j-C[i]-FJC[i][1]]+W[i]+FJW[i][1])$
• 选一个主件和附件2：$dp[j]=max(dp[j],dp[j-C[i]-FJC[i][2]]+W[i]+FJW[i][2])$
• 选一个主件和附件1与附件2：$dp[j]=max(dp[j],dp[j-C[i]-FJC[i][1]-FJC[i][2]]+W[i]+FJW[i][1]+FJW[i][2])$

AC Code

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] C = new int[65];
        int[] W = new int[65];
        int[][] FJC = new int[65][3]; // 附件个数与单价值
        int[][] FJW = new int[65][3]; // 附件价值与重要度的乘积
        int[] dp = new int[32005];
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            int v = sc.nextInt(), p = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();
            if(q == 0) {
                C[i] = v;
                W[i] = v * p;
            } else {
                FJC[q][0]++; // 记录附件个数
                FJC[q][FJC[q][0]] = v; // 该附件的价值
                FJW[q][FJC[q][0]] = v * p; // 该附件的价值与重要度的乘积
            }
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = N; C[i] != 0 && j >= C[i]; j--) {
                // 不选和只选主件
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-C[i]] + W[i]);
                // 选一个主件和附件1
                if(j-C[i]-FJC[i][1] >= 0)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-C[i]-FJC[i][1]] + W[i] + FJW[i][1]);
                // 选一个主件和附件2
                if(j-C[i]-FJC[i][2] >= 0)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-C[i]-FJC[i][2]] + W[i] + FJW[i][2]);
                // 选一个主件和附件1与附件2
                if(j-C[i]-FJC[i][1]-FJC[i][2] >= 0)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-C[i]-FJC[i][1]-FJC[i][2]] + W[i] + FJW[i][1] + FJW[i][2]);
            }
        }
        
        System.out.println(dp[N]);
    }
}