数位dp入门本校woj#1120 数字计数

最新推荐文章于 2019-11-04 20:52:24 发布

Junwinds

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本文深入探讨数位动态规划(DP)算法，一种用于解决特定类型计数问题的有效方法。文章详细介绍了数位DP的基本原理，包括记忆化递归和预处理技术，以及如何应用于求解指定区间内数字出现频率的问题。通过具体实例，展示了如何避免重复计算，优化算法效率，特别关注前导零的处理和状态转移方程的设计。

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描述
给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

基础的数位dp

记忆化思路比较清晰
注意前导0的特判

递推拆分比较复杂，需要结合题意思考统计方式
(预处理无脑)

递推：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;
#define int long long
const int N=14;

int f[N][N][N];
int t[N];
inline void pre(){
	t[0]=1;
	t[1]=10;
	for(int i=2;i<=13;++i)t[i]=t[i-1]*10;
	for(int i=0;i<10;++i)
		f[1][i][i]=1;
	//数位的预处理大多是从f[1][k][]...开始的
	for(int i=2;i<=12;++i){
		for(int j=0;j<10;++j){
			for(int k=0;k<10;++k){
				for(int p=0;p<10;++p){
					f[i][j][p]+=f[i-1][k][p];
					//不难想到状态转移方程
					//注意站在当前状态，用之前可能的状态更新不同的数的总数 
				}
			}
			f[i][j][j]+=t[i-1];
			//注意放在循环外面 
		}
	} 
}
int bit[N],ansl[N],ansr[N];
inline void getans(int n,int ans[]){
	int len=0,res=n;
	while(n){
		bit[++len]=n%10;
		n/=10;
	}
	// 预处理 前导零的情况 (最高位是0，那么所有讨论的子第一位都不能是0) 
	//如果忽略前导零，那么都当作len位数处理
	//如果前导零有实际含义，就要单独处理1~len-1位数(相当于在前面加0)
	//也可以放在下面处理，只是碰到0特判有点麻烦 
	for(int i=1;i<=len-1;++i){
		for(int j=1;j<=9;++j){
			for(int k=0;k<=9;++k){
				ans[k]+=f[i][j][k];
			}
		}
	}
	for(int i=len;i>=1;--i){
		for(int j=0;j<bit[i];++j){
			if(i==len&&j==0)continue;//最高位是0的情况之前已经讨论过 
			for(int k=0;k<10;++k){
				ans[k]+=f[i][j][k];
			} 
		}
		res%=t[i-1];//算出1~i-1位的值 
		ans[bit[i]]+=res+1;
		//循环带来是结果：所有都是最高位被忽略
		// 但由于题目的特性，会单独统计最高位的贡献，故最高位被忽略无影响。 
		
		
		//首先，当前j=bit[i]，只能累加i-1位的权值总和。
		//所以当前位的当前数没有被计入
		//当前共有   0~[i-1][i-2][...][1]
		//和预处理的10^(i-1)不同，此处通过取模得到的是最大值，
		//从0开始，还需+1 
	}
	
}

//预处理的时候，用状态转移即可
//在拆分的时候一定要注意：
//细节太多：
//1.  注意循环的本质就保证了 
signed main(){
	pre();
	int l,r;
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	getans(r,ansr);
	getans(l-1,ansl);
	for(int i=0;i<=9;++i){
		printf("%lld ",ansr[i]-ansl[i]);
	}
	return 0;
}

记忆化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=20;
int f[N][N][N],bit[N],l,r;
int DFS(int loc,int num,int sum,bool zero,bool up){
	if(loc==0)return sum;
	if(!up&&!zero&&f[loc][num][sum]!=-1)return f[loc][num][sum];
	int maxnum= up? bit[loc]:9;
	int res=0;
	//ÏòÏÂ×ªÒÆ¡£
	//°Ñ0µ¥¶ÀÄÃ³öÀ´´¦Àí¡£
	//Èç¹ûÇ°ÃæÃ»ÓÐÇ°µ¼0 ,»òÕß´Ë´¦ÊÇ×îºóÒ»Î»£¬¾Í²»ÓÃ¹Ü 
	if((!zero)||loc==1) 
		res+=DFS(loc-1,num,sum+(num==0),0,up&&0==bit[loc]);
	else
		res+=DFS(loc-1,num,sum,         1,up&&0==bit[loc]);
	for(int i=1;i<=maxnum;++i){
		res+=DFS(loc-1,num,sum+(num==i),0,up&&i==maxnum);
	} 
	return ((!zero)&&(!up))?f[loc][num][sum]=res:res;
} 

inline int getans(int n,int k){
	if(n<0)return 0;
	if(n==0)return k==0? 1:0;
	int len=0;
	while(n){
		bit[++len]=n%10;
		n/=10;
	}
	return DFS(len,k,0,1,1);
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(int i=0;i<=9;++i){
		printf("%lld ",getans(r,i)-getans(l-1,i));
	}
	return 0;
	
}