[YNOI2019]游戏【概率dp+高斯消元】

P5415

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SOL

对于我这样的“wen” “mang”，这题意可能有点太简略了。。
参照了 @ i_m_a_大佬的题解才理解题意。。

简述一下题意:
每次选出序列的前4个，从中等概率产生一个赢家，留在原地，剩下三个按照原来的相对位置挪到序列末尾。依次循环，知道有一个人连续赢了m场，游戏结束。问初始序列中第k位置的人（我们称作目标点）连续赢m次的概率。

用高斯消元求出概率dp方程式
不难发现，我们只需要关注当前的赢家（在第一个位置）连续赢了多少次，以及目标点的位置。
$f[i][j]表示目标点在i，1号点连续赢了j次的概率$。

对于$j==m$，即边界，只有$f[1][m]=1，其余为0$

对于$0\le j<m$,有三种情况：
1.目标点在一号点，
$f[1][j]=f[1][j+1]\ast \frac{1}{4}+f[n][1]\ast \frac{3}{4}$

2.目标点在$2-4$，
$f[2][j]=f[1][1]\ast \frac{1}{4}+f[n-2][j+1]\ast \frac{1}{4}+f[n-1][1]\ast \frac{1}{2}$
($3,4$类似)

3.目标点在$5-n$，
$f[i][j]=f[i-3][j+1]\ast \frac{1}{4}+f[i-3][1]\ast \frac{3}{4}$

显然这是有环的，由于方程总数为$n\ast (m+1)$，直接上高斯消元即可。
复杂度：$O(n^3{m}^3)$。

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CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define sf scanf
#define ri register int
#define in red()
#define gc getchar()
#define cs const
#define ll long long
#define db double
inline int red(){
	int num=0,f=1;char c=gc;
	for(;!isdigit(c);c=gc)if(c=='-')f=-1;
	for(;isdigit(c);c=gc)num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num*f;
}
int up,n,m,K,top=0;
inline int id(int x,int y){return (x-1)*(m+1)+y;}
db a[200][200];
inline void gauss(int n){
	for(ri i=0;i<n;++i){
		int p=i;
		for(ri j=i+1;j<=n;++j){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i]))p=j;
		}
		swap(a[i],a[p]);
		if(a[i][i]==0)continue;
		for(ri j=0;j<n;++j){
			if(j==i)continue;
			if(a[j][i]==0)continue;
			db k1=a[j][i]/a[i][i];
			for(ri k=n;k>=0;--k)a[j][k]-=a[i][k]*k1;
		}
	}
	for(ri i=0;i<n;++i)a[i][i]=a[i][n]/a[i][i];
}
signed main(){
//	freopen("data.in","r",stdin);
	in;
	n=in;m=in;K=in;
	up=(m+1)*n;
	//end
	a[top][id(1,m)]+=1;
	a[top][up]+=1;
	++top;
	for(ri i=2;i<=n;++i)a[top++][id(i,m)]+=1;
	//1
	for(ri i=0;i<m;++i){
		a[top][id(1,i)]+=1;
		a[top][id(1,i+1)]+=-0.25;
		a[top][id(n-2,1)]+=-0.75;
		++top;
		
		a[top][id(2,i)]+=1;
		a[top][id(n-1,1)]+=-0.5;
		a[top][id(1,1)]+=-0.25;
		a[top][id(n-2,i+1)]+=-0.25;
		++top;
		
		a[top][id(3,i)]+=1;
		a[top][id(n-1,i+1)]+=-0.25;
		a[top][id(n-1,1)]+=-0.25;
		a[top][id(n,1)]+=-0.25;
		a[top][id(1,1)]+=-0.25;
		++top;
		
		a[top][id(4,i)]+=1;
		a[top][id(n,i+1)]+=-0.25;
		a[top][id(n,1)]+=-0.5;
		a[top][id(1,1)]+=-0.25;
		++top;
	}
	for(ri i=5;i<=n;++i){
		for(ri j=0;j<m;++j){
			a[top][id(i,j)]+=1;
			a[top][id(i-3,j+1)]+=-0.25;
			a[top][id(i-3,1)]+=-0.75;
			++top;
		}
	}
	gauss(up);
	printf("%.6lf",a[id(K,0)][id(K,0)]);
	return 0;
}