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摘要是论文最重要的部分。竞赛要求每篇论文的首页为摘要页，如果摘要写得不好，即使有好的模型和解答，论文也将难以通过鉴别阶段的初审而进入下一阶段。 根据MCM的竞赛规则，摘要应该包含以下内容： 摘要不应写得太长，长度稍超过半页即可。论文摘要是全文的总结，有些作者简单地通过剪贴论文中的句子拼凑出摘要，这种做法是不可取的。摘要应该重新构思，反复推敲并修改直到满意为止。 摘要应达到吸引读者进一步阅读论文的目的，不要用"First we ...then we..."这样干巴巴的

模糊评价问题是要把论域中的对象对应评语集中一个指定的评语或者将方案作为评语集并选择一个最优方案。引入3个集合因素集（评价指标集） U评语集（评价的结果） V权重集（指标的权重） A模糊综合评价模型就是给定对象，用因素集的指标进行评价，从评语集中找到一个最适合它的评语。这里的“适合”用隶属度来衡量。

用颜色深浅来反映信息量的多少，。处于黑白之间的，即信息不完全的系统，称灰色系统。

LDA(Linear Discriminant Analysis）是一种经典的线性判别方法，又称Fisher判别分析。该方法思想比较简单：给定训练集样例，设法将样例投影到一维的直线上，通过找到一个投影方向，使得不同类别的样本在投影后的均值之间的距离最大。这确保了不同类别在投影空间中有明显的差异。在类间方差最大的同时，还要保证每个类别内部的样本在投影后尽量聚集在一起，即类内方差最小。通过这两个目标，Fisher线性判别分析产生了一个投影方向，可以将原始数据映射到一个低维空间，同时保留类别之间的差异。

在规划问题中，有些最优解可能不是整数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数，例如机器台数。为了满足整数的要求，，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为；如果仅一部分变量限制为整数，则称为。整数规划的一种特殊情形是，仅限于0或1。

插值是数学和计算机科学领域中的一种技术，用于在给定一些离散数据点的情况下，估计在这些点之间的数值。插值的目标是通过某种函数（插值函数）来逼近或拟合这些离散数据，从而使得在原始数据点之间的数值也有合理的估计。通过在原始数据点之间绘制平滑的曲线，可以去除数据中的噪声或波动，提供一个更加平滑的估计。插值可以用于预测在原始数据点之外的位置的数值，从而对未知数据点进行估计。在数字图像处理和计算机图形学中，插值用于在像素之间生成新的像素值，以便在缩放或旋转等操作时保持图像的平滑性。

以一个著名的问题为例——旅行商问题（TSP）。假设有一个商人要拜访N个城市，每个城市只能拜访一次，最后回到原来出发的城市，求最短路径。这是一个NP-hard问题，即目前来看，要求出最优解只能枚举，复杂度为。n只要稍微大一点，就会无法在正常时间内求出来。现在我们退一步，要求在一定时间内求出来，但不要求最优的解，只要一个相对比较优秀的解就行，这就引出了启发式算法。

常见的收益率、空间运动、运输问题等问题，往往设计到的形式，属于需要用到非线性规划。

比如，要生产两种机床，利润分别为，机器有不同的维护费用、工作时间，如何安排生产能让总利润最大化？

如何计算？由知可以由圆面积求得那么如何求圆面积？有一种近似的方法：往单位圆的外切正方形里投掷点，落在圆内的点数与总点数的比值近似等于圆面积与正方形面积的比值，也即，由此可以近似计算圆周率。其实这里就用到了蒙塔卡罗的方法。

用颜色深浅来反映信息量的多少，。处于黑白之间的，即信息不完全的系统，称灰色系统。

生活中的评价问题通过确定各指标的权重，来进行打分，但决策层不能太多，且判断矩阵的构造相对主观。依然从一个例子入手，现在仍然是从A,B,C三物中选择最佳的一个，其评价指标如下表。我们考虑一下最理想的组合情况（9，3）以及最不理想的组合情况（6，10）然后把总共5个点在图上画出来：（左上角是最劣，右下角是最优）那么我们现在实际上可以通过距离来衡量优劣，也就是Topsis法可翻译为逼近理想解排序法，或称优劣解距离法。引入了和对于结果，用来评价。

生活中有很多决策问题，需要依据一定的标准选择某一种方案。比如，买衣服一般依据质量、颜色、价格、款式等因素选择。如何综合这几个因素，以某种标准，选出A、B、C三者的最优？显然，直接相加不可取，因为这样因素1掩盖了另外三个，成为决定性因素。因此我们想到，要化为同一数量级，且保证在同一个指标下，差距不变。可以考虑：指标的数组1.361.301.35实际上，这里的评分栏是简单相加，没有考虑每种因素可能有不同权重，还不够全面，下面加入对加权的考虑。

实际问题研究中，常常遇到多变量问题，变量越多，问题往往越复杂，且各个变量之间往往有联系。于是，我们想到能不能。比如说一件上衣，有身长、袖长、胸围、腰围等等十多个指标，将型号分这么多很麻烦，因此，厂家将十多项指标综合成3项指标，分别反映长度、胖瘦、特殊体型。变量具有相关性，同时就意味着，主成分分析就是将重复的变量（关系紧密的变量）删去，建立尽可能少的、互相无关的新变量。

例如，今天供应的是A，那么明天有60%概率供应B，我们可以用一条由A向B的有向边来表示，边权是概率。这个结果告诉我们，餐厅整体上会在大概35%的时间供应A，21%的时间供应B，剩下时间供应C。当我们将这个行向量和矩阵相乘，我们得到了矩阵的第二行，更广义地，我们得到了未来的状态。，对于不同的i其值是不变的，换言之，不依赖于开始的状态，这恰恰符合马尔可夫性质。从一个例子入手：假设某餐厅有A，B，C三种套餐供应，每天只会是这三种中的一种，现在我们想要求出每种套餐的概率，直接用频率分布近似，而长期下来，这些概率（

随机森林是决策树的升级版随机指树的生长过程随机。构建决策树时，从训练数据中有放回地选取一部分样本，且随机选取部分特征进行训练。每棵树使用的样本和特征不同，这样就可以降低异常样本和特征差异性对结果的影响，且不容易过拟合。最终输出结果由投票决定。

这里熵表示样本种类的丰富性，样本种类越多越混乱，熵越大；假若全部属于同一类，则熵等于零。随着层数增加，让熵快速降低，降低速率越快，效率越高。

解决将空间中一些点分成K类的问题，K 代表样本类别数 Kind推广到K就是：K均值聚类算法是先随机选取K个对象作为初始的聚类中心。然后计算每个对象与各个种子聚类中心之间的距离，把每个对象分配给的聚类中心。聚类中心以及分配给它们的对象就代表一个聚类。每分配一个样本，聚类的聚类中心会根据聚类中现有的对象被重新计算。这个过程将不断重复直到满足某个终止条件。终止条件可以是没有（或最小数目）对象给不同的聚类，没有（或最小数目）聚类中心再发生变化，误差平方和局部最小。

滑动窗口就是能够根据指定的单位长度来框住时间序列，从而计算框内的统计指标。相当于一个长度指定的滑块在刻度尺上面滑动，每滑动一个单位即可反馈滑块内的数据。滑动窗口可以使数据更加平稳，浮动范围会比较小，具有代表性，单独拿出一个数据可能或多或少会离群，有差异或者错误，使用滑动窗口会更规范一些。明显使用滑动窗口（蓝线）后更加稳定了。

基于matplotlib，封装。[]表示可以不传，fmt传字符串改样式。用setp一起改属性。

TIMES的几种书写方式。

时间数据方法：调用。

时间序列是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。时间序列分析大致可分成三大部分，分别是描述过去、分析规律和预测未来，