LS和MMSE信道估计

1️⃣ LS（最小二乘）信道估计

OFDM系统的信道估计常在频域进行，因为OFDM本身就是基于频域的。频域模型可以表示为：
$$Y(f)=X(f)H(f)+Z(f)$$
其中，$Y(f)$表示接收信号的频域表示，$X(f)$表示发送信号的频域表示，$H(f)$表示系统的频率响应【对于OFDM系统，系统的频率响应是是单位脉冲响应的h(n)的DTFT】。为简化描述，下面的$Y(f)$，$X(f)$和$H(f)$分别表示为$Y$，$X$，$H$。

LS信道估计的目标是最小化下面的代价函数：
$$J({\hat{H}}_{LS})=\Vert Y-X{\hat{H}}_{LS}{\Vert }^2$$
其中，${\hat{H}}_{LS}$表示LS信道估计值

令上面的代价函数关于 $\hat{H}$ 的偏导数等于 0 ，即

$$\frac{\partial J({\hat{H}}_{LS})}{\partial {\hat{H}}_{LS}}=-2{\left(X^{\mathrm{H}}Y\right)}^{\ast }+2{\left(X^{\mathrm{H}}X\hat{H}\right)}^{\ast }=0$$

然后可以得到 $X^{H}X\hat{H}=X^{\mathrm{H}}Y$ ，由此得到LS信道估计的解为：

$${\hat{H}}_{\mathrm{LS}}={\left(X^{\mathrm{H}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathrm{H}}Y=X^{-1}Y$$

在OFDM系统中，可以用导频信号来得到${\hat{H}}_{\mathrm{LS}}$。对于上式，X是发送的导频信号，Y是接收的导频信号。

由于导频符号的数量有限，通常需要对LS估计结果进行插值来估算完整的数据符号【要传输的OFDM符号】的信道估计

LS 信道估计的均方误差（MSE）为

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{MSE}}_{\mathrm{LS}}& =E\left\{{\left(H-{\hat{H}}_{\mathrm{LS}}\right)}^{\mathrm{H}}\left(H-H_{\mathrm{LS}}\right)\right\}\\ & =E\{(H-\\ & \\ & \\ & \end{array}$$