离散数学笔记 可数和不可数/施罗德-伯恩斯坦定理/连续统假设

最近学到这个地方有点懵，经过不懈的请教总算是差不多搞清楚了一些。这里把自己的一些理解贴上来

• 可数集

一个集合或者是有限集或者与自然数集具有相同的基数，这个集合就成为可数的。
一个既是无限集又是可数集的集合的基数记为alef0

个人理解： 集合可数等价于其是可以通过按一到n来表示的。只要存在一个一一对应的映射f满足从自然数集到这个集合中的元素，则该集合的基数就和自然数集的基数相同，都为alef0。所以这个集合可数。

• 不可数集

实数集合是不可数集合

个人理解： 假定实数集合可数，则特定区间内的实数可数，则使用十进制展开表示这个区间内的实数序列，通过证明该区间内特定几个数字之间的服从特定规则的任意实数不能用母规则表示，来证明实数序列不能用自然数集作为下标表示，故实数集不可数。（其实就是任意找出来一个不在给出的序列里面的数的数）

• 基数

假定A和B可数，则AUB也是可数集合

施罗德-伯恩斯坦定理：如果A和B是集合且A的基数小于等于B，B的基数小于等于A，则两个集合的基数相同。/如果存在一对一函数f从A到B和g从B到A，则存在A和B之间的一一对应函数。

个人理解：任意两个可数集合的并集同样可数（将相同下标的项合在一起）；两个集合之间存在一对的一一对应函数，则这两个集合基数相同。

• 连续统假设

不存在集合A使得正整数集合的基数alef0小于A的基数，而A的基数又小于实数集的基数c。

|p（Z+）| = |R| = c > |Z+| = alef0

个人理解：正整数集合的基数alef0和实数集的基数c之间不存在一个数是一个集合的基数。即对一个集合而言，其基数在alef0和c之间是不连续的。