IncDec序列

这篇博客探讨了IncDec序列问题,即如何通过选择区间加减操作使数列中所有数相等,最少需要的操作次数以及可能的最终序列种类。介绍了差分序列的概念及其与前缀和的关系,并提供了输入输出示例来说明问题。

IncDec序列
给定一个长度为 nn 的数列 a1,a2,…,ana1,a2,…,an,每次可以选择一个区间 [l,r],使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。

求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样,并求出在保证最少次数的前提下,最终得到的数列可能有多少种。

输入格式
第一行输入正整数nn。

接下来nn行,每行输入一个整数,第i+1行的整数代表aiai。

输出格式
第一行输出最少操作次数。

第二行输出最终能得到多少种结果。

数据范围
0<n≤1050<n≤105,
0≤ai<21474836480≤ai<2147483648
输入样例:
4
1
1
2
2
输出样例:
1
2

差分知识简介

对于一个给定的数列A,它的差分数列B定义为:

B[1]=A[1],B[i]=A[i]-A[i-1] (2<=i<=n)

"前缀和"与"差分"是一对互逆运算,差分序列B的前缀和序列就是原序列A,前缀和序列S的差分序列就是原序列

把序列A的区间[l,r]加上d(即把Al,Al+1……,Ar都加上d),其差分序列的变化为B[l]加d B[r+1]减d

#include<iostream
### C++ 中 IncDec 序列问题 (P1453) 的解决方案 对于给定的一系列整数,目标是在最少的操作次数下使得整个序列变为严格单调递增或者严格单调递减。每次操作可以将任意一个元素增加或减少一。 #### 解决方案概述 为了最小化调整次数,在遍历数组的同时维护两个计数器分别记录当前保持上升趋势所需的修改次数以及下降趋势所需修改次数。最终取两者中的较小者作为答案[^2]。 #### 实现细节 具体实现上采用动态规划的思想: - 初始化 `dp` 数组用于存储到当前位置为止形成非降序/升序排列所需要的最小改变量; - 遍历输入数据更新上述状态转移方程; - 输出最后的结果即为所求最小变化数目。 下面是具体的算法描述与代码片段: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; class Solution { public: int minOperationsToMakeSequenceMonotonic(vector<int>& nums) { vector<int> dp(nums.size(), 0); // Initialize first element as no operation needed. dp[0] = 0; for(size_t i = 1; i < nums.size(); ++i){ if(nums[i] >= nums[i-1]){ dp[i] = dp[i-1]; }else{ dp[i] = dp[i-1]+(nums[i-1]-nums[i]); } // For decreasing sequence check and update accordingly... } return *min_element(dp.begin(), dp.end()); } }; ``` 此段伪代码仅展示了处理非降序情况下的逻辑框架;实际应用时还需考虑并行计算对应位置处构成非升序模式所需要的变化数量,并选取二者间更优解返回。
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