线段树详解（包含加法线段树、乘法线段树及区间根号线段树，简单易懂）

同步发表于 优快云@return_dr

这一篇文章我们将对线段树中的常规操作进行详细的讨论。

• 以下所提到的复杂度如无特殊说明均为时间复杂度。$\log$ 的底数均为 $2$。

不开 long long 见祖宗！

第一部 普通线段树

一、引入

对于一串数，举例为 $a$，需要实现以下几种操作（修改操作均为加减法）：

1. 单点修改
2. 单点查询
3. 区间修改
4. 区间查询（区间和）

显然 $1$ 与 $2$ 被 $3$ 与 $4$ 包含。但为了讨论的清晰，我们也将对其单独讨论。

如果我们用常规方式（数组）存储这串数，其查询操作为 $O(1)$，更改操作为 $O(1)$，求和操作为 $O(l)$（ $l$ 为所求序列长度）。

#define LL long long // 不开 long long 见祖宗！
#define ref(i, a, b, p) for (signed(i) = (a); (i) <= signed(b); (i) += signed(p))
const int maxn = 50005;
LL a[maxn], n, q, sum;
void work()
{
   
    cin >> n;
    ref (i, 1, n, 1)
        cin >> a[i];
    cin >> q;
    ref (__, 1, q, 1)
    {
   
        int x, k, l, r;
        cin >> x;
        if (x == 1) // 以下均如题
        {
   
            cin >> k;
            a[x] = k;
        }
        else if (x == 2)
            cout << a[x] << endl;
        else if (x == 3)
        {
   
            cin >> l >> r >> k;
            ref (i, l, r, 1)
                a[x] += k;
        }
        else
        {
   
            sum = 0;
            cin >> l >> r;
            ref (i, l, r, 1)
                sum += a[i];
            cout << sum << endl;
        }
    }
}

如果用前缀和来操作的话，虽然求和操作为 $O(1)$，但是更改数值后更新前缀和的复杂度为 $O(n)$，没有起到太大的优化效果，不再放代码。

有人说 $O(n)$ 的时间复杂度已经很优了，但是设想，如果有 $q$ 次询问，那么总的复杂度为 $O(nq)$，不可接受。

二、优化方案

经过前面优先队列等数据结构的铺垫，我们知道，树是一种能在复杂度为 $O(\log n)$ 的情况下处理大部分操作的数据结构。

那么我们可以这样想：对于一串数 $a$，我们把它看成一条长度为 $n$ 的线段，标记线段左端点为 $1$，右端点为 $n$，那么我们让线段上的 $1$ 对应 $a_1$，让 $2$ 对应 $a_2$……让 $n$ 对应 $a_n.$，这样我们就用一条线段表示出了 $a$。

我们此时建立一棵完全二叉树（偶数个数的情况下为满二叉树），以刚刚建立的线段上的每一个点（从 $a_1$ 到 $a_n$）为叶子节点，用父节点表示其左右儿子的和，那么根节点就为整条线段（也就是整串数）的和。

具体来看（代码放到最后）：
建树时，先建立叶子节点，然后逐层回溯计算父结点的值，每个节点需要存储的变量有它的值以及左右端点（就是区间范围）。时间复杂度 $O(n\log n)$。

如下图，先建立节点 $1,2,3\dots 8$（代表 $a_1,a_2,a_3\dots a_8$，下同），然后逐层回溯更新节点 $a,b,c\dots g$，更改顺序：红、黄、绿、蓝。
在此图中：

$a=1+2,b=3+4,c=5+6,d=7+8.$

$e=a+b=\sum _{i=1}^4{a}_i,f=c+d=\sum _{i=5}^8$