素数对猜想 (20 分)

让我们定义d​n​​为:d​n​​=p​n+1​​−p​n​​,其中p​i​​是第i个素数。显然有d​1​​=1,且对于n>1有d​n​​是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

现给定任意正整数N(<10​5​​),请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入格式:

输入在一行给出正整数N。

输出格式:

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入样例:

20

输出样例:

4

普通求素数的算法会超时,要提高算法效率。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100001],p[100001];
bool x[100001];
int main()
{
    int n,t=2,cnt=0;
    cin>>n;
    a[1]=2;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        if(i%2)x[i]=true;
        else x[i]=false;
    }
    for(int i=3; i<=sqrt(n); i++){
        if(x[i]){
            for(int j=i+i; j<n; j=j+i){
                x[j]=false;
            }
        }
    }
    for(int i=2; i<=n; i++){
        if(x[i]){
            a[t++]=i;
        }
    }
    for(int i=1; i<t; i++){
        p[i]=a[i+1]-a[i];
    }
    for(int i=1; i<t; i++){
        if(p[i]==2)cnt++;
    }
    cout<<cnt<<endl;
}
### 算法思路素数猜想的核心问题是找出在给定范围内,相邻两个素数的差为2素数对数量。实现的关键步骤包括: 1. **判断一个数是否是素数**:使用函数 `is_prime(int n)` 来判断某个数是否为素数。通过遍历从 2 到 √n 的所有整数,检查是否存在能整除 n 的因子。 2. **遍历范围内的所有数**:主函数中从最小可能构成素数对的数字开始(即从 3 开始),检查当前数和它加 2 的数是否同时为素数。 3. **统计符合条件的素数对数量**:如果当前数和当前数加 2 都是素数,则计数器增加。 该算法的时间复杂度约为 O(n√n),因为对于每个数都需要进行一次素数判断,而每次判断的时间复杂度为 O(√n)。 ### C语言代码实现 以下是一个完整的 C 语言程序,用于实现素数猜想: ```c #include <stdio.h> #include <math.h> // 函数声明:判断一个数是否为素数 int is_prime(int num) { if (num <= 1) return 0; if (num == 2) return 1; if (num % 2 == 0) return 0; int sqrt_num = (int)sqrt(num); for (int i = 3; i <= sqrt_num; i += 2) { if (num % i == 0) return 0; } return 1; } int main() { int N, count = 0; // 输入范围上限 printf("请输入一个正整数 N(N >= 3): "); scanf("%d", &N); // 检查并统计素数对 for (int i = 3; i <= N - 2; i++) { if (is_prime(i) && is_prime(i + 2)) { count++; } } // 输出结果 printf("在范围 [3, %d] 内共有 %d 对素数对。\n", N, count); return 0; } ``` ### 程序说明 - **`is_prime` 函数**:用于判断输入的整数是否为素数。此函数首先排除小于等于 1 的情况,并处理偶数的情况(除了 2 以外,其他偶数都不是素数)。随后,通过遍历从 3 到 √n 的奇数来判断是否存在因数。 - **主函数逻辑**:从用户输入的范围上限 `N` 开始,逐个检查从 3 到 `N-2` 的每个整数 `i`,如果 `i` 和 `i+2` 同时为素数,则计数器增加[^4]。 ### 性能优化建议 - **减少重复计算**:可以预先生成一个素数表(例如通过埃拉托斯特尼筛法),从而避免多次调用 `is_prime` 函数时重复计算。 - **多线程加速**:对于较大的 `N`,可以将范围划为多个子区间,利用多线程别计算每个区间的素数对数量,最后汇总结果。
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