线性方程组的迭代法

最新推荐文章于 2022-11-02 22:50:36 发布

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本文介绍了线性方程组的迭代求解方法，包括定常迭代法中的jscob、Gauss—Seidel迭代法以及松弛法，如Richardson、Jacobi松弛和超松弛（SOR）。这些方法适用于大规模矩阵计算，简化了程序设计并优化了资源使用。

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计算方程组的一般方法分为直接求解法和迭代计算法，直接求解法会占用计算机的过多资源，增加了程序的复杂程度。而使用迭代的方法会简便程序的设计复杂度，更加适合大规模矩阵的计算要求。

目录

一. 线性方程组迭代基本

二. 定常迭代法

2.1 jscob迭代法

2.2 Gauss—Seidel迭代法

2.3.1 Richardson

2.3.2 Jacobi松弛

一. 线性方程组迭代基本

对于一般的矩阵形式 $\large Ax=b$ ， $\large A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 的非奇异矩阵。将该式变化为 $\large x=Hx+f$ 的等价形式。将该式构造为可迭代的形式 $\large x^{k+1}=Hx^{k}+f$ 。

迭代矩阵的可行性：

上式的迭代公式中的 $\large H$ 矩阵是作为收敛矩阵，当收敛矩阵的谱半径小于1时，认为矩阵是收敛的，形式为 $\large \rho \left ( H \right )<1$ 。

向量 $\large \mathbf{x}$ 收敛情况为，向量中的各个元素 $\large x^{\left (i \right )}$ 是收敛的，即： $\large \lim_{x^{\left ( i+1 \right )}\rightarrow x^{\left ( i\right )}}\left ( x^{\left ( i+1 \right )}-x^{\left ( i\right )} \right )=0$ 。

二. 定常迭代法

利用迭代形式 $\large x^{k+1}=Hx^{k}+f$ 进行求方程组 $\large x=Hx+f$ 的近似解的简单迭代解。定义矩阵 $\large A$ 的形式，

$\large A=\left (a _{ij} \right )_{n\times n}$ ，而 $\large D=diag(a_{11},...,a_{nn})$ 为对角矩阵， $\large -L,-U$ 为矩阵的上下三角矩阵。

2.1 jscob迭代法

迭代计算的初始化的值任选 $\large x_{i}^{(0)}(i=1,2,3,... ,n)$ ，然后依据计算公式去迭代计算

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