【数学】乘法逆元

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本文介绍了剩余系的概念，包括完全剩余系和简化剩余系，并详细讲解了乘法逆元的定义。在实现部分，讨论了单个查询的扩欧算法和快速幂方法，指出扩欧在效率上可能更优。此外，还探讨了线性求法的递推和倒推策略，特别提到了如何利用阶乘的逆元进行计算。

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1. 剩余系

指模正整数n的余数所组成的集合。
若一个剩余系中包含了这个正整数n所有可能的余数，则称为完全剩余系，记为Zn。（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,…,n-1）
简化剩余系：简化剩余系也称既约剩余系或缩系，是m的完全剩余系中与m互素的数构成的子集。

2. 定义

若Zn中的两元素满足a*b=1，则称a，b互为模n意义下的乘法逆元。

3.实现

3.1 单个查询

3.1.1 扩欧

#include<bits/stdc++.h>
#define mo 100003
using namespace std;
int a,b,x,y,n,p;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else{
        int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return ret;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    int tx=exgcd(n,p,x,y);
        tx=x;
        while(tx<0) tx+=p;
        while(tx>=p) tx-=p;
        cout<<tx<<endl;
    return 0;
}

3.1.2 快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x,y,n,mo;
long long fpow(long long x,long long w){
    long long ans=1,res=w;
    while(x){
        if(x&1) ans*=res,ans%=mo;
        res*=res,res%=mo;
        x/=2;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mo);
        long long tx=fpow(mo-2,n);
        cout<<tx<<endl;
    return 0;
}

3.1.3 扩欧与快速幂的比较

据说是扩欧略快。

3.2 线性求法

3.2.1 递推法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[3000010],n,p;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    a[1]=1;
    printf("%d\n",a[1]);
    for(register int i=2;i<=n;i++){
        a[i]=1ll*(p-p/i)*a[p%i]%p;
        printf("%d\n",a[i]);
    }
    return 0;	
}

3.2.2倒推法

先求n！的逆元，然后倒推求出1！……（n-1）!的逆元（见3.3），然后根据（如图）即可推出。
在这里插入图片描述

3.3 阶乘的逆元

	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=i*fac[i-1]%mo;//阶乘
	inv[n]=f_mul(fac[n],mo-2);//n!的逆元
	for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo;//倒推