存在乘法逆的充分必要条件

阅读《密码学与网络安全》的乘法逆时，书上一笔带过：可以证明，在集合Zn中当且仅当gcd(n,a) = 1时，a具有一个乘法逆

不解如何证明，搜索到比较好的一个回答：

https://www.zhihu.com/question/27611042

引用如下：

假设x是a对于b的乘法逆元，则有 a*x = 1 mod b, 即x是方程 a*x + b*y = 1的一个整数解。
但是形如 a*x + b*y 的最小正整数为gcd(a,b)。
此结论可以通过扩展欧几里得算法（EEA）的正确性得到。 
而1又是最小的非零自然数，所以只有当gcd(a,b)=1时，a才有对于b的乘法逆元。

这里我之前学习忽略了一点就是：扩展的欧几里得算法的s和t2个待求变量的更新一直满足 s * a + t * b = r  成立的。但是r 是变成gcd(a,b)，再往下递减就是变成0的。所以说

a * x + b * y 的最小正整数是gcd(a,b)，于是可以得证。

关于扩展欧几里得算法，可以跳转至：

http://blog.youkuaiyun.com/qq_33826977/article/details/73527427

附个小插曲：

从小学奥数学到就知道一个整数n%3 = n各个数位上的和 %3 ，但是一直不知道怎么来的。

在学习模的性质时候才看到，发现数学太奇妙了。

简而言之，就是10的n次幂，模，3 ，999...999, 这几个东西就可以证明出来啦！