线代基本定理2

---

1引言

线代基本定理一（看之前文章）告诉我们R$(A)$与N($A$)的维度关系，我们希望知道它们的空间关系，平行？相交？垂直？线代基本定理2就告诉我们这些空间的位置关系。证明之前我们需要先证明
行秩=列秩。

1.1 行秩=列秩

假设行秩为$r$，列秩为$c$.
列空间的特征向量为$b_1,b_2,...b_c$.
矩阵$A$的每一列可以表示为$b_1,b_2,...b_c$的线性组合。
$a_j=[b_1,b_2,...,b_c]d$,$d\in R^n$ 是线性组合系数。
$A=BD$==>
$$\begin{array}{c}{A}^T=D^T{B}^T=D^T\left[\begin{array}{c}{b}_1^T\\ b_2^T\\ ...\\ b_c^T\end{array}\right]\end{array}$$
因此矩阵$A^T$的每一列都可以表示为矩阵$D^T$每一列线性组合，因为矩阵$D^T$只有$r$列，
$c\le r$同理可证$r\le c$。
究起根本原因都在于矩阵的乘法方式！

2定理

对于一个矩阵$A\in R^{m\ast n}$,C()表示column空间，N()表示零空间。
根据定理1以及，行秩=列秩得出
$$\begin{gathered} n=dimN(A)+dimC(A^T) \\ m=dimN(A^T)+dimC(A) \\ C(A^T)=N(A{)}^{\perp } \\ C(A)=N(A^T{)}^{\perp } \end{gathered}$$

3证明

依旧是根据矩阵乘法方式
$x\in N(A)$
$$\begin{array}{c}Ax=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_m\end{array}\right]x=0\end{array}$$
矩阵$A$的每一行与$x$相乘均为0，得证。