[ARC096C]Everything on It

题目

传送门 to AtCoder

思路

我 $\mathrm{t}\mathrm{m}$ 真的郁闷啊。

$\mathtt{d}\mathtt{p}$ 不易，考虑容斥。我一心想着钦定 $=0$ 和 $=1$ 的元素，于是答案就是
$$\sum _c\sum _k\sum _s(-1{)}^{n-s}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{c}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-c}{s})(2^s{)}^k\cdot 2^{2^s}\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right\}$$

其中 $c$ 枚举了 $=1$ 的元素的数量，$s$ 枚举了无限制的元素的数量，第二类斯特林数 $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right\}$ 表示将 $c$ 个元素划分到 $k$ 个无标号非空集合中的方案数。然后我就傻眼了，能想到的最好的是 $\mathcal{O}(n^2\log n)$ 基于卷积的做法 😢

然后我又试着先除去含 $=1$ 元素的方案，然后除去含 $=0$ 元素的方案。这需要求出所有 $n⩽n_0$ 的答案，因此还是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的。

好吧，滚去看题解。一句话总结就是：将 $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right\}$ 视为函数 $f(c,k)$ 不可能经过数学变换找到结果——枚举 $k,s$ 之后，对 $c$ 的求和可以快速求出，因为存在组合意义！

记 $f(c,k)$ 为，选出 $[1,c]\cap \mathbb{Z}$ 的大小为 $k$ 的子集族，使得每个元素出现次数 $⩽1$ 的方案数。事实上很容易 $\mathtt{d}\mathtt{p}$，与第二类斯特林数方法相同：
$$f(c+1,k)=f(c,k-1)+f(c,k)\times k+f(c,k)$$

最后一项就是出现次数 $=0$ 的情况。然后按照之前的式子计算即可做到 $\mathcal{O}(n^2)$ 。

另：细看递推式，好像我们会发现
$$f(c,k)=(k+1)\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k+1}\right\}+\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right\}$$

你便想到一个构造性的解释：就是让出现次数 $=0$ 的元素构成一个集合呗！

代码

#include <cstdio> // Almighty OUYE yyds!!!
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype> // isdigit
using llong = long long;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
# define rep0(i,a,b) for(int i=(a); i!=(b); ++i)
inline int readint(){
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar()) a = a*10+(c^48);
	return a*f;
}

const int MAXN = 3000;
int f[MAXN+1][MAXN+1], comb[MAXN+1][MAXN+1];

inline llong qkpow(llong b, int q, int mod){
	llong a = 1;
	for(; q; q>>=1,b=b*b%mod) if(q&1) a = a*b%mod;
	return a;
}

int main(){
	int n = readint(), mod = readint();
	rep(i,f[0][0]=1,n) rep(j,f[i][0]=1,n)
		f[i][j] = int((f[i-1][j-1]+llong(j+1)*f[i-1][j])%mod);
	rep(i,comb[0][0]=1,n) rep(j,comb[i][0]=1,i)
		comb[i][j] = (comb[i-1][j-1]+comb[i-1][j])%mod;
	int ans = 0;
	for(int s=0,v=0; s<=n; ++s,v=0){
        llong unit = qkpow(2,s,mod), pv = 1;
		rep(i,0,n){
			v = int((v+pv*f[n-s][i])%mod);
			pv = pv*unit%mod;
		}
		llong coe = qkpow(2,int(qkpow(2,s,mod-1)),mod);
		v = int(coe*v%mod*comb[n][s]%mod);
		if((n^s)&1) ans = (ans+mod-v)%mod;
		else ans = (ans+v)%mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}