C++实现背包问题的求解

问题描述

      假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1，w2，ｗ２，……，ｗｎ的物品，能否从ｎ件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使ｗ１＋ｗ２＋……＋ｗｎ＝Ｔ，要求找出所有满足上述条件的解。例如：当Ｔ＝１０，各件物品的体积｛１,８，４，３，５，２｝时，可找到下列４组解：
　　（１，４，３，２）
　　（１，４，５）
　　（８，２）
　　（３，５，２）

解题思路

        可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。首先将物品排成一列，然后顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i件物品之后背包还没有装满，则继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之而继续选取下一件，直至背包装满为止。但如果在剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明“刚刚”装入背包的那件物品不合适，应将它取出弃之一边，继续再从它之后的物品中选取，如此重复，直至求得满足条件的解，或者无解。

代码

#include <iostream>
#include <malloc.h>
using namespace std;

/*
	任务描述： 假设有一个能装入体积为T的背包和n件体积分别为w1,w2,…,wn的物品，能否从n件物品中挑选出
				若干件恰好装满背包，即时w1 + w2 + …+ wn = T,
			要求找出所有满足上述条件的解。例如：当T=10，各件物品的体积{1,8,4,3,5,2}时，
			可找到下列4组解：
				（1,4,3,2）、（1,4,5）、（8,2）、（3,5,2）。
	作者：Mr.Lu
	时间：2019-6-8 
*/
//使用栈作为结构体
typedef struct {
	int data[100];// 
	int top, first=0;
}stack;
//向栈中添加元素
int push(stack *s, int data){
	s->data[s->top++] = data;
	return data;
}
//从栈中删除元素
int pop(stack *s){
	s->top--;
//	cout<<s->top<<endl;
	int data = s->data[s->top];
	return data;
}

int main(){
	double T, w[100];//假设最多有100种不同大小的物品
	int n;
	stack s;
	int num = 0;//记录解的总数 
	double sum = 0;//记录栈中所有元素的值的和 
	cout<<"请输入背包的总体积：";
	cin>>T;
	cout<<"请输入物品种类数：";
	cin>>n;
	cout<<"请输入每种物品的体积："; 
	for(int i=0; i<n; i++){
		cin>>w[i];
	}
	cout<<"满足条件的解有："<<endl;
	for(int i=0; i<n; i++){
		//栈的初始化
		s.top = 0;
		sum = 0;
		int r, p;//r记录是否循环到了底，p记录当前栈顶元素的位置 
		sum += w[push(&s, i)];
		r = p = i+1;
		if(sum > T){
			continue;
		}
		else{
			while(s.top!=0){
				if(sum < T && r<n){
					sum += w[push(&s, r)];
					r++;
				}
				if(sum > T){
					sum -= w[pop(&s)];
				}
				if(sum == T){
					for(int k=s.first; k<s.top; k++){
						cout<<w[s.data[k]]<<" ";
					}
					cout<<endl;
					num++;
					sum -= w[pop(&s)];
				}
				if(r == n){
					p = pop(&s);
					if(s.top==0){
						break;
					}
					sum -= w[p];
					p++;
					if(p<n){
						sum += w[push(&s, p)];
						p++;
						r = p;
					}
					else{
						p = pop(&s);
						if(s.top==0)
							break;
						sum -= w[p];
						p++;
						sum += w[push(&s, p)];
						p++;
						r = p;
					}
				}
			}
		}
	}
	if(num!=0){
		cout<<"解的个数为："<<num<<endl;
	}
}

代码设计思路：首先使用栈来存储物品，在代码中已经定义了栈的结构体，整型变量top指向了栈的顶部元素，整型变量first指向了栈的底部（始终不变）。然后在下面，写了栈的相关操作，入栈与出栈，返回的都是当前栈顶元素的值（存入栈顶部的物品体积）。在主函数中，变量名的后面都做了相关的注释，可能大家看不懂的就是r,p三个整形变量的意义。p是记录当前栈顶元素在n件物品中的下一个位置，r是记录当前所要压入栈中的物品元素的位置。for循环中，每一次循环，都会进行一次初始化，然后将w[i]压入栈顶，进行回溯操作。对于T=10，各件物品的体积{1，8，4，3，5，2}时，for循环里面进行的操作可以用下列循环图表示。

这样循环下去，如果sum=T，则从栈底first到栈顶top输出所有元素，如果sum<T，继续入栈，如果sum>T，出栈。当r=n时，使p+1，且让r=p，当p=n时，说明使元素1作为栈底元素已经把所有情况都遍历完。此时跳出循环，使之后的元素作为栈底元素，重复上述操作。

测试结果

１.背包体积Ｔ＝１０，各件物品的体积｛１，８，４，３，５，２｝

２.背包体积Ｔ＝２０，各件物品体积｛5 ，8， 4， 3， 6， 9， 2， 1｝