现代控制理论之状态矢量的线性变换

最新推荐文章于 2024-09-13 18:56:43 发布

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分类专栏：智能控制文章标签：状态空间表达式状态矢量约旦标准型状态矢量的线性变换

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本文探讨了状态矢量线性变换的基本原理及其在状态空间表达式中的应用，通过引入变换矩阵T，可以将原状态矢量x转换为另一状态矢量z，从而简化状态空间表达式并量化系统性能。此外，文章还介绍了如何将状态空间表达式变换为约旦标准型，以使控制矩阵A尽可能简单。

状态矢量的线性变换

一.状态矢量线性变换的基本原理

我们的知道，建立系统的状态空间表达式具有非唯一性，主要原因是选取不同的状态矢量就会有不同的状态空间表达式。基于此，提出了状态矢量的线性变换，其基本原理如下：

设给定系统：

$x˙=Ax+Bu\bf \dot x= Ax+Bu$ $x(0)=x0\bf x(0) = x_0$ $y=Cx+Du\bf y = Cx+Du$
现给定一个非奇异阵 $T\bf T$ ，将原状态矢量 $x\bf x$ 作线性变换，得到另外一个状态矢量 $z\bf z$ ,满足以下变换关系：
$x=Tz\bf x= Tz$
即
$z=T−1x\bf z= T^{-1} x$
带入给定系统，得到新的状态空间表达式:
$z˙=T−1ATz+T−1Bu\bf \dot z= T^{-1} ATz+T^{-1} Bu$ $z(0)=T−1x0\bf z(0) = T^{-1} x_0$ $y=CTx+Du\bf y = CTx+Du$
因为T为任意非奇异阵，所以该状态空间表达式不唯一。T通常称为变换矩阵。

二.状态矢量线性变换的一般实现

为简化状态空间表达式的计算和量化系统的性能，我们希望控制矩阵（A）尽量简单。基于此，提出将状态空间表达式变换为约旦标准型：

即将原系统：

$x˙=Ax+Bu\bf \dot x= Ax+Bu$ $y=Cx+Du\bf y = Cx+Du$

变换为：

$z˙=Jz+T−1Bu\bf \dot z= Jz+T^{-1} Bu$ $y=CTx+Du\bf y = CTx+Du$

其中（ $A\bf A$ 无重根）：

$T^{-1} AT = {\left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0&\cdots& 0\\ 0 & \lambda_2& 0&\cdots& 0\\ 0 & 0& \lambda_3&\cdots\\ \cdots& \cdots& \cdots&\cdots&\cdots\\ 0 & 0 & 0&\cdots&\lambda_n \end{array} \right ]}$