qq_41959720的博客

第七章：史瓦西解与粒子运动  史瓦西解是真空解：Rμν=0R_{\mu\nu}=0Rμν​=0，并且具有下述两个条件：  （1）引力源是球对称的，即gμνg_{\mu\nu}gμν​中只能含有下述的组合：dx⃗2d\vec x^2dx2，x⃗⋅dx⃗\vec x\cdot d\vec xx⋅dx，x⃗2\vec x^2x2  （2）引力场是静态的，即gμνg_{\mu\nu}gμν​不依赖于ttt  因此史瓦西解具有一定的猜测成分  一般的形式为：dτ2=F(r)dt2−2E(r)dtx⃗⋅dx

第六章：观测量理论4、四轴系  时间轴：观测者世界线的切矢量UμU^\muUμ（前面已经提到的定义）  空间轴：？ωa^μ(a^=0,1,2,3)\omega^\mu_{\hat a}(\hat a=0,1,2,3)ωa^μ​(a^=0,1,2,3)  其中a^\hat aa^的第一个为时间轴，后三个为空间轴  定义ω0^μ≡Uμ\omega^\mu_{\hat 0}\equiv U^\muω0^μ​≡Uμ，UμU^\muUμ满足归一化条件，gμνUμUν=−1⇒gμνω0^μω0^ν=−1

第六章：观测量理论1、观测量  可观测量TαβT^{\alpha\beta}Tαβ和张量型物理量TμνT^{\mu\nu}Tμν不是一回事  可观测量都是标量，与坐标系无关，但一般与参考系有关  想要将GR算出的量TμνT^{\mu\nu}Tμν表示出来，需要选择一个特殊的坐标  严格区分坐标系和参考系：  坐标系： 时空中的点，与一个四维数组之间的一一对应关系。可以是局域的，也可以是全局的  参考系： GR中没有全局参考系（此概念无意义），所有的参考系都是局域的。以一定方式运动的观测者所携带

第五章：引力辐射7、旋转刚体的引力辐射刚体运动的描述  对于任意刚体而言，其转动惯量的定义为：Iij=∫Vρ(r)(δij∑k=13rk2−rirj)dVI_{ij}=\int_V \rho(r)(\delta_{ij}\sum^3_{k=1}r^2_k-r_ir_j)dVIij​=∫V​ρ(r)(δij​k=1∑3​rk2​−ri​rj​)dV  总是存在正交矩阵TTT，可以使得转动惯量对角化：TTIT=D=diag{I1,I2,I3}T^T I T=D=diag\{I_1,I_2,I_

第五章：引力辐射4、有源辐射：四极辐射推迟势公式  对于弱场近似下的爱因斯坦场方程：□2hˉμν=−16πGTμν\square^2\bar h_{\mu\nu}=-16\pi G T_{\mu\nu}□2hˉμν​=−16πGTμν​  利用格林函数方法求解，得到：hˉμν(t,x⃗)=4G∫1∣x⃗−y⃗∣Tμν(t−∣x⃗−y⃗∣,y⃗)d3y\bar h_{\mu\nu}(t,\vec x)=4G\int\frac{1}{|\vec x-\vec y|}T_{\mu\nu}(t-|

第五章：引力辐射1、弱场近似  弱引力场下的度规为：gμν=ημν+hμν, ∣hμν∣≪1g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\ |h_{\mu\nu}|\ll 1gμν​=ημν​+hμν​, ∣hμν​∣≪1  在线性近似理论中，只保留hμνh_{\mu\nu}hμν​的张量项，张量的指标升降借助于ημν\eta_{\mu\nu}ημν​和ημν\eta^{\mu\nu}ημν  由此，联络写为：Γαβμ=12ημν(hαν,β+

第四章：相对论性的引力理论9、正交标架  由等效原理可知，在黎曼时空中任一点，可以引入局域惯性系：ds2=ηαβdξαdξβds^2=\eta_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\betads2=ηαβ​dξαdξβ  变换到任一坐标系：ds2=gμνdxμdxνds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nuds2=gμν​dxμdxν  度规为：gμν=ηαβ∂ξα∂xμ∂ξβ∂xν≡ηαβeμ(α)eν(β)=e(β)μeν(β)g_{\mu\

第四章：相对论性的引力理论6、变分原理推导场方程  场方程的左边为IGI_GIG​，右边为IMI_MIM​，作用量I=IG+IMI=I_G+I_MI=IG​+IM​  在平直时空中，作用量为：I=∫d4xL(gμν,gμν,σ,gμν,σ,δ,matter)I=\int d^4 x\mathcal L(g_{\mu\nu},g_{\mu\nu,\sigma},g_{\mu\nu,\sigma,\delta},matter)I=∫d4xL(gμν​,gμν,σ​,gμν,σ,δ​,matter)

第四章：相对论性的引力理论1、等效原理与引力的几何化牛顿定律与等效原理  质量为mαm_\alphamα​的质点，在引力场g⃗\vec gg​中以非相对论的速度运动。则在惯性系中的运动方程为：mαd2r⃗αdt2=mαgg⃗+∑βF⃗(r⃗α−r⃗β)m_\alpha\frac{d^2 \vec r_\alpha}{dt^2}=m^g_\alpha\vec g+\sum_\beta \vec F(\vec r_\alpha-\vec r_\beta)mα​dt2d2rα​​=mαg​g​+β∑​

第三章：张量分析与黎曼几何11、黎曼空间中的积分  积分实质上就是求和，但在张量运算中，不同点的求和一般是没有意义的，不能保证张量的变换性质。所以在黎曼空间中，只有类似下述的积分才有意义：∫fμdxμ=f∬Tμνdxμdxν=T∫∭J;μμdΣ=J\int f_\mu dx^\mu = f\\\iint T_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = T\\\int\iiint J^\mu_{;\mu}d\Sigma = J∫fμ​dxμ=f∬Tμν​dxμdxν=T∫∭J;μμ​dΣ=J

第三章：张量分析与黎曼几何7、黎曼空间中的曲率张量定义  黎曼空间中曲率张量的表达式和仿射空间中的一致：Rλμνρ=−Γλμ,νρ+Γλν,μρ−ΓλμσΓσνρ+ΓλνσΓσμρR^\rho_{\lambda\mu\nu}=-\Gamma^\rho_{\lambda\mu,\nu}+\Gamma^\rho_{\lambda\nu,\mu}-\Gamma^\sigma_{\lambda\mu}\Gamma^\rho_{\sigma\nu}+\Gamma^\sigma_{\lambda\nu}\Ga

第三章：张量分析与黎曼几何3、测地线方程测地线方程的导出  在普通空间中，直线的定义为：线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的曲线。测地线则是将该定义推广到nnn维仿射空间  在nnn维空间中，曲线由nnn个参量式描述：xμ=xμ(λ), μ=1,2,3,…,nx^\mu=x^\mu(\lambda),\ \mu=1,2,3,\dots,nxμ=xμ(λ), μ=1,2,3,…,n，其中λ\lambdaλ为标量型参量。曲线上任意一点的切矢量定义为：Aμ≡dxμdλA^\mu\e

第三章：张量分析与黎曼几何  广义相对论的数学语言是微分几何。微分几何用来描述“流形”：局部可以看做欧几里得空间，而全局形状则可能比较复杂。NNN维欧几里得空间Rn\mathcal R^nRn本身就是最简单的一种NNN维流形  数学上，NNN维流形可以写作{M,{Uα,Φα}}\{\mathcal M,\{U_\alpha,\Phi_\alpha\}\}{M,{Uα​,Φα​}}。其中，M\mathcal MM是一组点的集合，{Uα}\{U_\alpha\}{Uα​}是M\mathcal MM中开集的集

第二章：狭义相对论5、流与密度假定有一个粒子体系，各粒子的带电荷量为ene_nen​，位于位置xn(t)x_n(t)xn​(t)处，则可以定义一个四矢量：Jα≡∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t))dxnα(t)dtJ^\alpha\equiv \sum_n e_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{dx^\alpha_n(t)}{dt}Jα≡n∑​en​δ3(x−xn​(t))dtdxnα​(t)​说明：（1）JαJ^\alphaJα是四矢量证明：先证δ4(x

第二章：狭义相对论1、洛伦兹变换Lorentz方程  狭义相对性原理表示，自然规律对洛伦兹变换群是不变的。所谓的洛伦兹变换，是由一个时空坐标系xαx^\alphaxα到另一个坐标系x′αx'^\alphax′α的变换（时空变换），这个线性变换具有如下形式：x′α=Λβαxβ+aαx'^\alpha=\Lambda^\alpha_\beta x^\beta + a^\alphax′α=Λβα​xβ+aα （1）  其中，aαa^\alphaaα和Λβα\Lambda^\alpha_\betaΛβα​

第一章：历史回顾  广义相对论（General Relativity, GR），是一种用于描述引力的理论（引力理论），其数学基础为黎曼几何，但广义相对论并不等价于黎曼几何  爱因斯坦的广义相对论有三个前提，分别是：  1、非欧几何  2、牛顿引力  3、相对性原理  以上三个前提都是广义相对论的基础，在广义相对论中具有不可或缺的地位1、非欧几何欧氏几何： 欧几里得几何，是公理化体系。公理化体系是从逻辑推理所推导出的体系（换个词来说：假设）欧氏几何的五条假设（特别简单且无需证明）：  1、