李群与李代数的推导

1 李群与李代数的转换关系

本文主要对特殊正交矩阵SO(3) 和特殊欧式群SE(3) 以及其对应的李代数进行讨论。

1.1 已知条件

假设已知李群与李代数之间的指数映射关系:
SO(3)和so(3)
$$R=exp({\varphi }^{\wedge })$$
其中$R$为李群（3阶矩阵），在此处的物理意义可以表示为旋转矩阵；$\varphi$为李代数（3维向量），此处的物理意义可以表示为旋转向量。
SE(3)和se(3)
$$\begin{gathered} T=exp({\xi }^{\wedge })其中\xi =[\rho ,\varphi ] \\ T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}exp({\varphi }^{\wedge })& J\rho \\ 0^T& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
其中，T为李群，在此处表示为变换矩阵（4阶矩阵）；$\xi$为李代数（6维向量），它由表示平移部分的$\rho$（3维向量）和表示旋转的$\varphi$（3维向量）组成，$\varphi$可以分解为$\theta$和$\mathbf{a}$，其中$\theta$为旋转角度，$\mathbf{a}$为单位向量，表示旋转轴。同时，$R和T$在李群上的关系如上所示，变换矩阵$T$由旋转矩阵$R$和平移向量$t$组成。

1.2 李群对数映射到李代数

SO(3)$\Rightarrow$so(3)

已知条件：$R$
求解参数：$\varphi$($\theta 和\mathbf{a}$)
$$\begin{gathered} R \\ \Downarrow \\ \theta =arccos(\frac{Tr(R)-1}{2}) \\ R\mathbf{a}=\mathbf{a} \\ \Downarrow \\ \varphi =\theta \mathbf{a} \end{gathered}$$

SE(3)$\Rightarrow$se(3)

已知条件：$T(R和t)$
求解参数：$\xi (\rho 和\varphi )$
$$\begin{gathered} R,t \\ \Downarrow \\ \theta =arccos(\frac{Tr(R)-1}{2}) \\ R\mathbf{a}=\mathbf{a} \\ \Downarrow \\ \varphi =\theta \mathbf{a} \\ J=\frac{sin\theta }{\theta }I+(1-\frac{sin\theta }{\theta })\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}+\frac{1-\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta }{\theta }{\mathbf{a}}^{\wedge } \\ \rho =J^{-1}t \end{gathered}$$

1.3 李代数指数映射到李群

so(3)$\Rightarrow$SO(3)

已知条件：$\varphi$($\theta 和\mathbf{a}$)
求解参数：$R$
$$\begin{gathered} \varphi (\theta 和\mathbf{a}) \\ \Downarrow \\ R=exp({\varphi }^{\wedge })=exp(\theta {\mathbf{a}}^{\wedge })=\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta \mathbf{I}+(1-\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta )\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}+\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\theta {\mathbf{a}}^{\wedge } \end{gathered}$$

se(3)$\Rightarrow$SE(3)

已知条件：$\xi (\rho 和\varphi )$
求解参数：$R和T$
$$\begin{gathered} \varphi (\theta 和\mathbf{a}) \\ \Downarrow \\ R=exp({\varphi }^{\wedge })=exp(\theta {\mathbf{a}}^{\wedge })=\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta \mathbf{I}+(1-\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta )\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}+\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\theta {\mathbf{a}}^{\wedge } \\ J=\frac{sin\theta }{\theta }I+(1-\frac{sin\theta }{\theta })\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}+\frac{1-\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta }{\theta }{\mathbf{a}}^{\wedge } \\ t=J\rho \\ \Downarrow \\ T==\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

2 李群乘法与李代数加法的关系

由于旋转矩阵所在的李群，虽然定义了良好的乘法操作，但是没有加法的定义，因此很难对旋转矩阵取极限和求导。根据李群与李代数之间的指数和对数映射关系，能否将SO(3)上的乘法对应到so(3)上的加法。由于映射的元素为矩阵，假设：
$$\begin{gathered} R_1=exp({\varphi }_1^{\wedge }) \\ {R}_2=exp({\varphi }_2^{\wedge }) \\ {R}_1{R}_2\ne exp(({\varphi }_1+{\varphi }_2{)}^{\wedge }) \end{gathered}$$
但是根据BCH(Baker-Campbell-Hausdorff)公式可以推断出，李群乘法与李代数加法之间的关系：
假定对某个旋转$R$，对应李代数为$\varphi$。此时在$R$的基础上左乘一个微小的旋转$\Delta R$，对应在李代数上为：$\Delta \varphi$。

在李群上，结果为$\Delta R.R$
在李代数上的结果为：$J_l(\varphi )\Delta \varphi +\varphi$ 而不是$\Delta \varphi +\varphi$
其中：
$$J_l(\varphi )=J_l(\theta ,\mathbf{a})=\frac{\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\theta }{\theta }\mathbf{I}+(1-\frac{\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\theta }{\theta })\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}+\frac{1-\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\theta }{\theta }{\mathbf{a}}^{\wedge }$$

同理，若在李代数上进行加法操作的结果:$\Delta \varphi +\varphi$
则对应到李群上的操作的结果为：$exp((J_l\Delta \varphi {)}^{\wedge }).exp({\varphi }^{\wedge })$或者$exp({\varphi }^{\wedge }).exp((J_r\Delta \varphi {)}^{\wedge })$
其中$J_r(\theta )=J_l(-\theta )$

3 对旋转矩阵或者变换矩阵求导的物理意义

在视觉SLAM中，只要获得相机的位姿（位置和姿态），以及对应每个位姿时相机中场景的深度图，即可对场景进行拼接，完成场景的恢复即地图构建。因此如何准确获得相机在任意时刻的位姿，即定位 变得十分重要。
相机的位姿由**SO(3)上的旋转矩阵或SE(3)**上的变换矩阵描述，假设某个时刻相机的位姿为$T$，通过观察现实世界中的点$p$获得在图像上的观测数据$z$。由坐标变换关系可知：
$$z=Tp+w$$
其中，$w$为随机噪声。由于它的存在，使得$z\ne Tp$
假设理想的观测值与实际数据之间的误差为：
$$e=z-Tp$$
假设此刻$T$对应的相机视图中，有$N$个路标点和$N$次观测，即得到$N$个观测数据，因此就拥有了$N$个误差值。
为了求得此刻相机最有位姿$T$，使得整体误差最小化：
$$T^{\ast }=argmi{n}_{T}J(T)=argmi{n}_T(\sum _{i=1}^N{||z_i-T{p}_i|{|}_2}^2)$$
为了求解这个最小二乘问题，需要计算目标函数$J$关于变换矩阵$T$的导数。

由于李群$SO(3)和SE(3)$是特殊的群，它们没有定义良好的加法操作，并且矩阵收到约束。如旋转矩阵$R$必须是正交矩阵。而李代数作为向量，并且定义了良好的加法操作。因此，可以通过李代数解决求导问题，并且可以分为两种思路：

• 用李代数表示位姿，然后根据李代数加法对李代数求导；
• 对李群左乘或右乘微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动模型或者右扰动模型。
  证明过程略

结论： 相比于直接对李代数求导，利用扰动模型可以省去一个雅克比矩阵的计算，因此更加实用。

扰动模型计算结果

假设只考虑$SO(3)$对原坐标点$p$进行影响，原坐标点$p$在旋转矩阵$R$的作用下，得到旋转后的坐标点为$Rp$。计算旋转后的点$Rp$相对于旋转矩阵$R$的导数。对$R$进行一次扰动$\Delta R$，扰动对应的李代数为$\phi$，对$\phi$进行求导即等价与直接对旋转矩阵$R$求导。
$$\begin{gathered} \frac{\partial (Rp)}{\partial \phi }=li{m}_{\Delta R\to 0}\frac{\Delta R.Rp-Rp}{\Delta R}= \\ li{m}_{\phi \to 0}\frac{exp({\phi }^{\wedge })exp({\varphi }^{\wedge })p-exp({\varphi }^{\wedge })p}{\phi }=-(Rp{)}^{\wedge } \end{gathered}$$

同理考虑$SE(3)$对坐标点$p$的影响，变换的坐标点$Tp$对$T$求导
可以根据扰动模型，求得导数为：
$$\left[\begin{array}{cc}I& -(Rp+t{)}^{\wedge }\\ 0^T& 0^T\end{array}\right]$$
该求导结果为：$4\times 6$矩阵。