SLAM学习笔记（六）

李群李代数基础

三维旋转矩阵构成了特殊正交群 SO(3)，而变换矩阵构成了特殊欧氏群 SE(3)：

旋转矩阵或者变换矩阵，它们对加法是不封闭的。即，对于任意两个旋转矩阵 R1, R2，它们按照矩阵加法的定义，和不再是一个旋转矩阵：

SO(3) 和 SE(3) 关于乘法是封闭：

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 A，运算记作 ·，那么群可以记作 G = (A, ·)。群要求这个运算满足以下几个条件：

李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而 SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。

李代数的引出

任意旋转矩阵 R满足：

R 是某个相机的旋转，它会随时间连续地变化，即为时间的函数：R(t)。由于它仍是旋转矩阵，有

在等式两边对时间求导，得到：

注：R上有一点也表示求导

整理得：

对于任意反对称矩阵，我们亦能找到一个与之对应的向量。把这个运算用符号 ∨ 表示：

记：

为方便讨论，我们设 t0 = 0，并设此时旋转矩阵为 R(0) = I。按照导数定义，可以把 R(t) 在 0 附近进行一阶泰勒展开：