01背包

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2至Wn，与之相对应的价值为P1,P2至Pn。01背包是背包问题中最简单的问题。01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，因为每种物品只有一个，对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。如果不选择将其放入背包中，则不需要处理。如果选择将其放入背包中，由于不清楚之前放入的物品占据了多大的空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。 

01背包题目的雏形是：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

当 j>=c[i] 时，dp[i][j]=max{ dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]]+w[i] }

当 j<c[i] 时 ，dp[i][j]=dp[i-1][j];

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中.

虽然时间上不能再优化，但是空间上可以。

因为我们状态转移方程只有到了  i-1 时的数据，所以我们可以dp数组可以不用开那么大，我们可以开一个滚动数组，dp[2][v+1]

但事实上，我们只开一维数组就可以了，但是开一维数组我们内层循环要从v到c[i],具体原因见这篇博。https://www.cnblogs.com/buddho/p/01_backpack.html

代码如下：

package jisuanke;

import java.util.Scanner;

public class L4 {
//01背包
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		int v=sc.nextInt();
		int[] w=new int[n+1];
		int[] c=new int[n+1];
		int[][] dp=new int[n+5][v+5];
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			w[i]=sc.nextInt();
			c[i]=sc.nextInt();
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=0;j<v;j++) {
				if(j<c[i])
					dp[i][j]=dp[i-1][j];
				else {
					dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);
				}
			}
		}
		//关于空间的优化 
		int[] dpx=new int[v+5];
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=v;j>=c[i];j++) {
				dpx[j]=Math.max(dpx[j-c[i]]+w[i], dpx[j]);
			}
		}
		
	}

}

摘自背包九讲：

1.4 初始化的细节问题
            我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0] 为0，其它F[1::V ] 均设为负无穷，这样就可以保证最终得到的F[V ] 是一种恰好装满背包的最优解。          

             如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将F[0::V ]全部设为0。这是为什么呢？可以这样理解：初始化的F 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0 的背包可以在什么也不装且价值为0 的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞ 了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
 

 关于背包九讲的内循环常数级优化：可以看看这2个博客

https://www.jianshu.com/p/8d41d87fcbb7

https://www.cnblogs.com/crackpotisback/p/8554051.html

这个优化在背包体积特别大的情况下优势才明显。