LeetCode-279. 完全平方数

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本文探讨了如何找到构成任意正整数的最少完全平方数个数，通过广度优先搜索算法与四平方和定理解决LeetCode 279题。介绍了两种高效算法实现，包括基于广度优先搜索的迭代方法和利用数学定理简化问题的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

279. Perfect Squares

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.

Example 1:

Input: n = 12
Output: 3 
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.

Example 2:

Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.

广度优先搜索法

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        queue<int> q;
        int steps = 0;
        q.push(n);
        vector<bool> booked(n+1,false);
        booked[n]=true;
        while(!q.empty())
        {
            for(int i=q.size();i>0;i--)
            {
                int ans = q.front();
                q.pop();
                for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
                {
                    int ant = ans-i*i;
                    if(ant<0) break;
                    if(ant == 0) return steps+1;
                    if(booked[ant]== false)
                    {
                        booked[ant]=true;
                        q.push(ant);
                    }
                }
               
            }
            steps++;
        }
        return 0;
    }
};

四平方和定理

四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

static int x = [](){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    return 0;
}();
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
       while(n%4==0)
        {
            n/=4;
        }
        if(n%8==7)
        {
            return 4;
        }
        for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
            int b = sqrt(n - a * a);
            if (a * a + b * b == n) {
                return (a!=0) + (b!=0);
            }
        }
        return 3;
    }
};