算法导论 24.2 有向无环图的单源最短路径（DAG算法）

一，DAG算法的思想

        根据结点的拓扑排序次序来对带权重的有向无环图G进行边的松弛操作，在有向无环图中，边可以为负值但是没有权重为负值的环，因此最短路都是存在的。

二，DAG算法介绍

准备阶段：一副赋值有向无环图

算法过程：对图G中的结点进行拓扑排序就，使所有结点线性排列，然后按照拓扑排序的次序对每个结点发出的所有边进行松弛操作。

三，DAG伪代码

DAG_SHORTEST_PATHS(G,w,s)

1. topologically sort the vertices of G

2. INITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G,s)

3. for each vertex u,taken in topologically sorted order

4.    for each vertex v∈G.Adj[u]

5.         RELAX(u,v,w)

第1行对图G进行拓扑排序；第2行对所有结点进行初始化；第3-5行，按照拓扑排序的顺序对每个结点到其各邻结点的边进行松弛

以书上的例子为例，图a中，各结点已经按照拓扑排序线性线性排列并已初始化；图b中，我们开始松弛第一个结点r，由于r.d=∞，因此他的邻结点s、t都不需要更新；图c中，我们松弛第二个结点s，他的邻结点t和x更新为(2,s)和(6,s)；图d中，松弛第三个结点t，他的邻结点y、z被更新为(6,t)和(4,t)，而邻结点x由于2+7>x.d=6，因此不更新；图e中，松弛第四个结点x，y更新为(5,x)，z不需要更新；图f中，松弛结点y，更新z为(3,y)；图g展示了最后的图。

四，DAG算法的复杂度