算法导论 25.3 Johnson算法

一，Johnson算法的思想

        如果图G中所有的边权重均为非负值，通过对每个结点进行一次Dijkstra算法来找到所有结点对之间的最短路径，如果图G中有负值的边但没有权重为负值的环路，就计算出一组新的非负权重值，并按同样的方法计算。

二，新权重的确定

        我们定义新权重w'(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)，满足两个性质：一是对于所有结点对(u,v)，路径p是使用原权重函数w时从结点u到v的一条最短路径，当且仅当p是在使用新权重函数w'时从u到v的一条最短路径，二是新权重为非负值。

三，Johnson算法介绍

        准备阶段：一张赋值有向图

        算法过程：我们在图G中增加一个新结点S，并让其与其他结点相连，形成一幅新图G'，对G'进行Bellman-Ford算法计算从S到各结点的最短路径h，删除结点S，然后根据新权重确定公式：w'(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)对原图的权重进行修改，使得权重都为正，然后对每个结点进行一次Dijkstra算法找到结点对的最短路径。

四，Johnson算法的伪代码

JOHNSON(G,w)

1. compute G',where G'.V=G.V∪{s},G'.E=G.E∪{(s,v):v∈G.V},w(s,v)=0 for all v∈G.V

2. if BELLMAN_FORD(G',w,s)==FALSE

3.     print"the input graph contains a negative-weight cycle"

4. else for each vertex v∈G'.V

5.