图论 Day8

零、基本概念

1.存图

2.遍历 

dfs

bfs

一、拓扑

有向无环图才有拓扑排序
拓扑排序是图的所有顶点的一个排列（所有点出现且仅出现一次）
如果图中有点A->B 那么在拓扑排序中点A的位置一定在点B前面
时间复杂度O(N)
拓扑排序的应用：
1. 有向图找环 （能找到拓扑排序说明没有环）
2. 解决依赖问题 （用A->B表示B依赖A，以此建图，找到的拓扑排序里A一定在B之前完成）

 二、最短路

1.Bellman-Ford、SPFA

Bellman-Ford思想： 对于一条最短路，最多经过n-1条边 每轮我们遍历所有的边对最短路的长度进行更新，执行n-1轮就可以保证到所有点的距离达到最短

SPFA优化： 当源点到点u的距离被更新时，点u到它连接到的点的距离也有可能需要更新 时间复杂度O(NM)

 2.Dijkstra单源最短路

有向图的边权值全为正数可以用Dijkstra
做法：
每次访问距离源点距离最小且没有访问过的点，用这个点更新这个点连接到的点的距离
正确性：
因为没有负边，当前距离最小的点不可能由其他距离更大的点更新得到更小的距离，因此是最后的结果

STL的小根堆
priority_queue<T,vector<T>,greater<T>>

priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;

q.push(…)//插入元素
q.top()//访问堆顶元素
q.pop()//删除堆顶元素

pair<T,T> 复合两个元素，比较的时候优先按第一个元素比较，访问的时候用A.first和A.second访问第一个元素和第二个元素

用priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>> q; 来优化Dijkstra

//上面其实就是把上一页的两个STL的模板组合起来，pair<int,int>的小根堆 我们用pair的first保存点的距离，用second保存点的编号，这样距离小的点会自动上升到堆顶，我们用堆的top就可以访问 时间复杂度O(NlogM)

 3.多源最短路Floyd

Floyd可以求图的点的两两之间最短路
用了动态规划的思想
设 d[k][i][j] 为除了 i 和 j 外只经过前 k 个结点，从 i 到 j 的最 短路
加⼊了⼀个顶点 k 之后， 最短路如果有变化的话⼀定是以 k 为中间顶点，那么可以得到 
d[k][i][j] = min(d[k − 1][i][j], d[k − 1][i][k] + d[k − 1][k][j])
第一维可以省掉
时间复杂度O(N^3)

四、连通性问题

 1.强连通分量