算法 - 0/1背包问题（动态规划）

最新推荐文章于 2025-07-05 20:15:34 发布

xyzhang2018

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分类专栏：算法设计与分析文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41701363/article/details/88934864

本文介绍了0/1背包问题，通过动态规划的方法求解背包能承载的最大价值。每件物品有其价值vi和重量wi，背包总承重为W。动态规划思路是针对每个物品，考虑放入和不放入背包两种情况，计算最大价值。递归方程描述了状态转移，并给出伪代码。最后，提供了相关参考资料链接。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

0/1 Knapsack Problem
假设我们有 n 件物品，分别编号为 1, 2 . . . n。其中编号为 i 的物品价值为 vi，它的重量为wi。为了简化问题，假定价值和重量都是整数值。现在，假设我们有一个背包，它能够承载的重量是 W。现在，我们希望往包里装这些物品，使得包里装的物品价值最大化，那么
我们该如何来选择装的东西呢?

该问题子问题具有重叠性，且存在优化子结构（可利用剪切粘贴法证明，即反证法），因此采用动态规划求解。

算法思想：对于每个物品计算放与不放情况下的最大价值。假设背包某时刻进行到第i个物品，此时背包容量为j，若将第i个物品放入背包后问题就转变为求解从第i+1个物品到第n个物品放入容量为j-wi的背包中如何使价值最大化，若第i个物品没有放入背包，问题就转变为求解从第i+1个物品到第n个物品放入容量为j的背包中如何使价值最大化。

递归方程 (一) ：(采用矩阵m[i,j]存储当前背包的价值,i表示当前物品，j表示背包剩余容量)
m[i, j] = max{m[i+1, j] , m[i+1, j-wi]+vi} ( j >= wi)
m[i, j] = m[i+1, j] ( j < wi)//第i个物品无法放入背包（容量不足）
m[n, j] = 0 ( j < wn)//最后一个物品无法放入背包（容量容量不足）
m[n, j] = vn ( j >= wn)//最后一个放入背包

算法伪代码：

For j=0 To wn-1 Do
	m[n, j] = 0;
For j=wn To C Do
	m[n, j] = vn;
For i=n-1 To 2 Do
	For j=0 To wi -1 Do
		m[i, j] = m[i+1, j];
	For j=wi To C Do
		m[i, j]=max{m[i+1, j], m[i+1, j-wi]+vi};
If C<w1 Then m[1, C]=m[2, C];
			  Else m[1, C]=max{m[2, C], m[2, C-w1]+v1};

递归方程（二