洛谷P2519 [HAOI2011]problem a

题目描述

一次考试共有n个人参加，第i个人说：“有ai个人分数比我高，bi个人分数比我低。”问最少有几个人没有说真话(可能有相同的分数)

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第一行一个整数n，接下来n行每行两个整数，第i+1行的两个整数分别代表ai、bi

输出格式：

一个整数，表示最少有几个人说谎

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3
2 0
0 2
2 2

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1

说明

100%的数据满足： 1≤n≤100000 0≤ai、bi≤n

题解：

洛谷里已经解释的很清楚了。

这里把第 $i$ 个人的名次，定义为分数严格高于第 $i$ 个人的人数加 $1$ 。

把条件进行转化，可以得到「 a_iai​ 个人分数比我高， b_ibi​ 个人分数比我低」实际上就是「我是第 a_i+1ai​+1 名， 算上我一共有 n-a_i-b_in−ai​−bi​ 个人和我分数相同」。这里设 l_i=a_i+1li​=ai​+1 ， r_i=n-b_iri​=n−bi​ 。意义是将分数从大到小排序之后，与第 $i$ 个人分数相同（包括第 $i$ 个人）的区间是 [l_i,r_i][li​,ri​] 。

先去掉一些必假的话。

1、如果 l_i>r_ili​>ri​ ，那么第 $i$ 个人说的话必假。

2、如果 l_ili​ 和 r_iri​ 都相等的人出现了超过 r_i-l_i+1ri​−li​+1 个，那么最多只有其中的 r_i-l_i+1ri​−li​+1 个人说了真话，超出 r_i-l_i+1ri​−li​+1 部分的人说的话必假。

判断第 $2$ 个条件，可以按照 $l$ 为第一关键字， $r$ 为第二关键字从小到大排序来判断。去掉所有必假的话之后，把 $l$ 和 $r$ 都相等的人合并成一个区间（左右端点不变），并给区间定义一个价值，即为合并之前满足 l_ili​ 等于该区间左端点且 r_iri​ 等于该区间右端点的人数。

这样，求最多有多少人说真话，就变成了这一个问题： $m$ 个区间，每个区间为 [L_i,R_i][Li​,Ri​] ，价值为 V_iVi​ ，从中选出若干个没有交集的区间，求选出区间的最大价值和。

这样就可以DP了。先把区间按 R_iRi​ 排序，设 $f[i]$ 为到第 $i$ 个区间的最优解。

转移就是先二分查找当 $k\in [1,i-1]$ 时满足 R_k<L_iRk​<Li​ 的最大的 $k$ 值，那么，转移方程就是：

f[i]=\max(f[i-1],f[k]+V_i)f[i]=max(f[i−1],f[k]+Vi​) 。

最后答案就是 $n-f[m]$ 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
struct aaa{
	int l,r,val;
}a[1000001],b[1000001];
using namespace std;
int n,n1,m,i,l,r,mid,f[1000001];
bool cmp(aaa a,aaa b){
	return a.l<b.l||a.l==b.l&&a.r<b.r;
}
bool cmp1(aaa a,aaa b){
	return a.r<b.r||a.r==b.r&&a.l<b.l;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	n1=n;
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
		a[i].l++;
		a[i].r=n-a[i].r;
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for(i=1;i<=n;i++)
	 if(a[i].l<=a[i].r)b[++m]=a[i];
	n=0; 
	for(i=1;i<=m;i++)
	 if(i==1||b[i].l!=b[i-1].l||b[i].r!=b[i-1].r) {
	 	a[++n]=b[i];
	 	a[n].val=1;
	 }
	  else if(a[n].val<b[i].r-b[i].l+1)a[n].val++;
	sort(a+1,a+n+1,cmp1); 
	f[1]=a[1].val; 
	for(i=2;i<=n;i++){
		f[i]=f[i-1];
		l=1;r=i-1;
		while(l<=r){
			mid=(l+r)/2;
			if(a[mid].r<a[i].l){
			 f[i]=max(f[i],f[mid]+a[i].val);
			 l=mid+1;
		}
		 else r=mid-1;
		}
	}
	printf("%d",n1-f[n]);
}