向量组和线性相关

向量和向量组
以下讨论同样适用于行矩阵：
列矩阵素被看作空间内的一个向量，N阶列矩阵被称为N维向量
M个N维列矩阵按顺序组成的新矩阵被称为向量组

---

线性表示和线性相关
当向量方程AX=b有解时，称向量b可以用向量组A线性表示，称Σx_ia_i为向量组A的一个线性组合
当向量组B的所有向量b_i都能用A线性表示时，称向量组B能被向量组A线性表示。这个关系不一定可逆。

当向量方程组AX=0有非0解时，称向量组A线性相关（有重复多余的方程）
否则称线性无关

向量组的秩
极大无关组：原组的子组中最广的无关组
极大无关组中向量的列数即为向量组的秩
极大无关组的求法：矩阵变换得到的行最简矩阵的非零行首元所在列向量组成的向量组

向量组和秩的性质

1. b能被A线性表示 是 R(A)=R(A|b) 的充要条件
2. B能被A线性表示 是 R(A)=R(A|B) 的充要条件
3. B能被A线性表示 则 R(B)<=R(A)推论： 相互表示的向量组等价 = R(A)=R(B)=R(A|B)
4. 线性相关的向量组的秩小于列数，线性无关的向量组的秩和列数相等
5. 相关向量组的增广组也相关，无关组的减广组也无关
6. 矩阵的秩=列向量组的秩=行向量组的秩 推论：一个能表示其原组的无关子组即为原组的最大无关组