蓝桥杯：蒜头君的购物袋 2

蒜头君去超市购物，他有一只容量为V的购物袋，同时他想买n件物品，已知每件物品的体积 vi和重要度pi ​。蒜头君想知道，挑选哪些物品放入购物袋中，可以使得买到的物品重要度之和最大，且物品体积和不超过购物袋的容量。

输入格式

第一行输入两个整数V（1≤V≤1000）和n（1≤n≤100）。代表购物袋的总体积为V，蒜头君一共想买n件物品。

接下来输入n 行，每行输入两个整数 vi​ 和 pi​（1≤vi,pi≤100），分别表示每件物品的体积和重要度。

输出格式

输出一行，输出一个整数，表示蒜头君能买到物品的最大重要度之和。

样例输入

50 4

1 5

60 99

49 8

33 7

样例输出

13

 

二维数组解法：

用dp[i][j]表示取前i种物品，是他们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和。

状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+p[i]);（两种情况：1.不取第i种物品，则dp[i][j]是dp[i-1][j];2.取第i种物品，背包剩余体积减去第i种物品的体积w[i],并且加上第i种的价值，这种情况必须是第i种物品体积不超过背包剩余体积）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[1005][1005],w[105],p[105];

int main(){
	int v,n;
	
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>w[i]>>p[i];
	}
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<=v;j++){
       	if(j>=w[i])
       	  dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+p[i]);
 	   else
       	  dp[i][j]=dp[i-1][j];
       }
    cout<<dp[n][v]<<endl;
	
	return 0;
}

优化空间复杂度：

当计算第i件物品，总重量不超过v时，他所需要的状态是dp[i-1][0...v]，(即计算第i行第j列只需要它上面一行j列左面的数)，所以我们可以将二维数组转化为一维数组，优化空间复杂度。因为求第j列会用到它上面及左边的数，所以我们在计算一行时选择从右向左计算，即先计算dp[v]，用它覆盖上一行的dp[v]，再计算dp[v-1...0]，状态转移方程可以简化为：dp[j]=max(dp[j−w[i]]+v[i],dp[j])

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[1005],w[105],p[105];

int main(){
	int v,n;
	
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>w[i]>>p[i];
	}
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=v;j>=w[i];j--)
          dp[j]=max(dp[j-w[i]]+p[i],dp[j]);
    cout<<dp[v]<<endl;
	
	return 0;
}