MATLAB台大郭彦甫老师课程笔记：第十一课：线性回归方程式与线性系统

本文介绍了如何使用MATLAB进行矩阵运算，包括将增广矩阵化为上三角矩阵，LU分解的应用，以及计算矩阵的条件数来判断矩阵的秩和稳定性。此外，通过实例演示了特征值和特征向量的求解过程。

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线代内容：第二个式子到第三个式子：②=②+①*（-2）三=三+①*（-1）后面的式子推理都同上。最后将原增广矩阵化为上三角矩阵（主对角线以下都是零的矩阵）。

对于MATLAB，它拥有一个内置函数，用于将增广矩阵化开：
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A = [1 2 1; 2 6 1; 1 1 4];
 b = [2; 7; 3];
 R = rref([A b])
 
 R =

     1     0     0    -3
     0     1     0     2
     0     0     1     1

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这里，将A分为两个矩阵，L表示对角线以上元素均为0的下三角矩阵；U表示对角线以下元素均为0的上三角矩阵。

A = [1 1 1; 2 3 5; 4 6 8];
[L, U, P] = lu(A);
inv(L)

ans =

    1.0000         0         0
   -0.2500    1.0000         0
   -0.5000         0    1.0000

U

U =

    4.0000    6.0000    8.0000
         0   -0.5000   -1.0000
         0         0    1.0000

实际上，讲了这么多，上面的都只是需要了解MATLAB在进行矩阵运算时的计算方法：下面才是最简单的方法：
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第十一课课后练习1：

% 总结题意：已知V，R，求I；且已知公式：V= R* I。
syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2
R = [R1 0 0 R4 0; 0 R2 0 -R4 R5; 0 R2 R3 0 -R5; -1 1 0 4 0; 0 -1 1 0 1];
V = [V1; V2; 0; 0; 0];
I = R\V;

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第十一课课后练习2：

hold on
x = 0: 0.1: 40; y = 0: 0.1: 40; 
[X, Y] = meshgrid(x, y); grid on;
Z1 = -X-Y; Z2 = Y-X; Z3 = (-1/3)*X;
grid on 
axis square
mesh(Z1); 
mesh(Z2);
mesh(Z3);
hold off
% 但是画出来的和老师不太一样。以后需要再看看。。

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其实这里老师讲的我没太听懂，但是貌似大概意思是：对于病态矩阵A，它计算出来的K值会比较大；相反，对于良态矩阵B，计算出来的K值会相对较小。对于矩阵而言，K值越小，越良好。

A = [1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7];
cond(A)
B = [1 2 3; 2 5 6; 9 8 7];
cond(B)

ans =

   4.3483e+05


ans =

   45.5623

在MATLAB中求特征值和特征向量：
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