向量范数

向量范数的定义如下:

若实值函数(n维向量空间向一维向量空间的映射)\left \| \cdot \right \|\mathbb{R}^{^{n}}\rightarrow \mathbb{R}}满足下列条件:

(1)\left \| x \right \|\geqslant 0\forall x\in \mathbb{R}^{n}\left \| x \right \|=0当且仅当x=0

(2)\left \| \alpha x \right \|=\left | \alpha \right |\left \| x \right \|\forall \alpha \in \mathbb{R}x\in \mathbb{R}^{n}

(3)\left \| x+y \right \|\leqslant \left \| x \right \|+\left \| y \right \|\forall x,y\in \mathbb{R}^{n}

则称\left \| \cdot \right \|为向量范数。

设x为n维列向量,常用的向量范数有L_{1}范数,L_{2}范数,L_{\infty }范数:

                    \left \| x \right \|_{1}=\sum_{j=1}^{n}\left | x_{j} \right |

                    \left \| x \right \|_{2}=\left ( \sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2}\right ) ^{1/2}

                    \left \| x \right \|_{\infty }=\max_{j}\left | x_{j} \right |

一般地,对于1\leqslant p< \inftyL_{p}范数为:

                    \left \| x \right \|_{p}=\left ( \sum_{j=1}^{n} \left | x_{j} \right | ^{p}\right ) ^{1/p}

一般我们默认\mathbb{R}^{n}为n维的欧式空间(Euclid空间,欧几里得空间),所以我们称L_{2}范数为欧几里得范数。

从定义可以看出,L_{1}范数对应于曼哈顿距离,L_{2}范数对应于欧式距离。

所以范数,实际是用于度量向量的大小,常见的求向量的模实际上是在求向量的L_{2}范数。若向量是由坐标点表示的话(x,y),则向量的模等于该点与原点连线的长度,即欧氏距离。

可以看出度量向量大小,除了常用的欧氏距离(L_^{2}范数)外,曼哈顿距离(L_^{1})也是常见的一种度量方法。

在机器学习中,定义模型的损失函数(惩罚项)时,常使用L_^{1}范数和L_^{2}范数来定义函数损失,称为L_^{1}正则化和L_^{2}正则化。

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