桶排序+抽屉原理

桶排序

桶排序定义

    桶排序是一种基于分治思想、效率很高的排序算法，理想情况下对应的时间复杂度为$O(n)$。桶排序算法的实现思路是：将待排序序列中的元素根据规则分组，每一组采用快排、插入排序等算法进行排序，然后再按照次序将所有元素合并，就可以得到一个有序序列。
    为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：

1. 在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量
2. 使用的映射函数能够将输入的$N$个数据均匀的分配到$K$个桶中

桶排序时间复杂度分析
    1. 什么时候最快：当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。
    2. 什么时候最慢：当输入的数据被分配到了同一个桶中。

桶排序例题

LeetCode164. 最大间距

    给定一个无序的数组$nums$，返回 数组在排序之后，相邻元素之间最大的差值。如果数组元素个数小于$2$，则返回$0$。
    您必须编写一个在「线性时间」内运行并使用「线性额外空间」的算法。
提示:
  $1<=nums.length<=10^5$
  $0<=nums[i]<=10^9$

思路

使用桶排序：记录数组最大值$Max$，最小值$Min$。共有$n$个数，那么这$n$个数间共有$n-1$个间隔，这些数之间的间隔的最大值$\ge (Max-Min)/(n-1)$（由抽屉原理可以得知）。设置每个桶大小$x$（左开右闭），那么每个桶的数的间隔最大为$x-1$，为使得最大间隔在桶之间，而不在桶内，需要满足$x-1<(Max-Min)/n-1$，设当缩小，即$(n-1)(x-1)\le (Max-Min-1)$，所以$x\le \frac{Max-Min-1+n-1}{n-1}=\frac{Max-Min+n-2}{n-1}$。此时间隔最大值必然在桶之间。

代码

class Solution {
    class Node {
        int min, max;
        boolean used;
        public Node() {
            min = Integer.MAX_VALUE;
            max = Integer.MIN_VALUE;
            used = false;
        }
    }
    public int maximumGap(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int Min = Integer.MAX_VALUE, Max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int x : nums) {
            Min = Math.min(Min, x);
            Max = Math.max(Max, x);
        }
        if(n < 2 || Min == Max) {
            return 0;
        }
        int x = (Max - Min - 1 + n - 1) / (n - 1);
        Node[] nodes = new Node[n-1];
        for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
            nodes[i] = new Node();
        }
        int res = 0;
        for(int y : nums) {
            if(y == Min) {
                continue;
            }
            int idx = (y - Min - 1) / x;
            if(!nodes[idx].used) {
                nodes[idx].used = true;
            }
            nodes[idx].min = Math.min(nodes[idx].min, y);
            nodes[idx].max = Math.max(nodes[idx].max, y);
        }
        for(int last = Min, i = 0; i < n - 1; i++) {
            if(nodes[i].used) { 
                res = Math.max(res,nodes[i].min - last);
                last = nodes[i].max;
            }
        }
        return res;
    }
}