【分治】大整数乘法（C++）

• 刚发现个问题，，初学时竟然是使用的long型进行计算的，导致这篇文章虽展现了分治的想法，但并没有实际解决大整数乘法的计算问题。
• 仅供参考，日后再改

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一、大整数乘法

1. 一般计算方法
   • 有n位大整数X和Y，计算XY：将Y的每一位与X相乘再按位相加；
   • 时间复杂度：我们需要进行一次n位的乘法，即$T(n)=o(n^2)$
2. 分治法（理想状态下）

   • 理想状态：假设有n位大整数X和Y（X和Y位数n相同且为偶数），计算XY。

   • 分治：我们将X、Y分别拆分为a与b、c与d，$X=a\ast 10^{\lfloor n/2\rfloor }+b$，$Y=c\ast 10^{\lfloor n/2\rfloor }+d$
     再计算：
     $$XY=ac\ast 10^{2\lfloor n/2\rfloor }+(ad+bc)\ast 10^{\lfloor n/2\rfloor }+bd$$

   • 时间复杂度：一共需要进行4次n/2的乘法（ac，ad，bc、bd各一次）和3次加法，
     　　因而$T(n)=4T(n/2)+\theta (n)=o(n^2)$

   • 改善：设$E=ac，F=bd，G=(a-b)\ast (d-c)=ad-bd-ac+bc$，则
     $$XY=E\ast 10^{2\lfloor n/2\rfloor }+(G+E+F)\ast 10^{\lfloor n/2\rfloor }+F$$

   • 改善后的时间复杂度：一共需要进行3次n/2的乘法（E，F，G各一次）和4次加法，
     　　因而$T(n)=3T(n/2)+\theta (n)=o(n^{1.59})$

3. 分治法（非理想状态下）

   • 非理想状态：假设有$n_x$位大整数X和$n_y$位大整数Y（X和Y位数n大小随机），计算XY。

   • 分治：我们将X、Y分别拆分为a与b、c与d，$X=a\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor }+b$，$Y=c\ast 10^{\lfloor n_y/2\rfloor }+d$
     再计算：
     $$XY=ac\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor +\lfloor n_y/2\rfloor }+(ad\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor }+bc\ast 10^{\lfloor n_y/2\rfloor })+bd$$

   • 时间复杂度：一共需要进行4次$n_x/2$乘$n_y/2$的乘法和3次加法，
     　　因而$T(n)=...$

   • 改善：设$E=ac，F=bd，G=(a\ast 10^{n_x/2}-b)\ast (d-c\ast 10^{n_y/2})$，则
     $$XY=E\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor +\lfloor n_y/2\rfloor }+(G+E\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor +\lfloor n_y/2\rfloor }+F)+F$$

   • 改善后的时间复杂度：一共需要进行3次$n_x/2$乘$n_y/2$的乘法和4次加法，
     　　因而$T(n)=...$

二、递归算法实现

1. 设计递归方程

1. 理想状态下；
   $$XY=E\ast 10^{2\lfloor n/2\rfloor }+(G+E+F)\ast 10^{\lfloor n/2\rfloor }+F$$
2. 非理想状态下；
   $$XY=E\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor +\lfloor n_y/2\rfloor }+(G+E\ast 10^{\lfloor n_x/2\rfloor +\lfloor n_y/2\rfloor }+F)+F$$
3. 当拆分后的子整数的位数为1时，结束递归。

2. 编写程序代码

1. 理想状态下；

// 大整数乘法--理想状态
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int SIGN(long A);
long bigIntMultiply_Ideal(long X, long Y, int n);

int main()
{
    long X = 0;
    long Y = 0;
    int n = 0;

    cout << "大整数乘法：请输入两个大整数：\n";
    cout << "X=";
    cin >> X;
    cout << "Y=";
    cin >> Y;
    cout << "请输入两个大整数的长度：n=";
    cin >> n;

    cout << "\nX*Y=" << bigIntMultiply_Ideal(X, Y, n) << endl;

    return 0;
}

int SIGN(long A)
{
    return A > 0 ? 1 : -1;
}

long bigIntMultiply_Ideal(long X, long Y, int n)
{
    // a-b和d-c可能为负值
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    X = abs(X);
    Y = abs(Y);
    
    if (X == 0 || Y == 0)
        return 0;
    else if (n == 1)
        return sign * X * Y;
    else
    {
        long a = (long)(X / pow(10, n / 2));
        long b = (X % (long)pow(10, n / 2));
        long c = (long)(Y / pow(10, n / 2));
        long d = (Y % (long)pow(10, n / 2));

        long E = bigIntMultiply_Ideal(a, c, n / 2);             // E=a*c
        long F = bigIntMultiply_Ideal(b, d, n / 2);             // F=b*d
        long G = bigIntMultiply_Ideal((a - b), (d - c), n / 2) + E + F; // G=(a-b)*(d-c)+bd+ac

        return (long)(sign * (E * pow(10, n) + G * pow(10, n / 2) + F));
    }
}

2. 非理想状态下；

// 大整数乘法--非理想状态
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int SIGN(long A);
long bigIntMultiply_Nonideal(long X, long Y, int n_x, int n_y);

int main()
{
    long X = 0;
    long Y = 0;
    int n_x = 0;
    int n_y = 0;

    cout << "大整数乘法：请输入两个大整数：\n";
    cout << "X=";
    cin >> X;
    cout << "Y=";
    cin >> Y;
    cout << "请输入大整数X的长度：n_x=";
    cin >> n_x;
    cout << "请输入大整数Y的长度：n_y=";
    cin >> n_y;

    cout << "\nX*Y=" << bigIntMultiply_Nonideal(X, Y, n_x, n_y) << endl;

    return 0;
}

int SIGN(long A)
{
    return A > 0 ? 1 : -1;
}

long bigIntMultiply_Nonideal(long X, long Y, int n_x, int n_y)
{
    if (X == 0 || Y == 0)
        return 0;
    else if ((n_x == 1 && n_y == 1) || n_x == 1 || n_y == 1)
        return X * Y;
    else
    {
        int n_x0 = n_x / 2;
        int n_x1 = n_x - n_x0;

        int n_y0 = n_y / 2;
        int n_y1 = n_y - n_y0;

        long a = (long)(X / pow(10, n_x0));
        long b = (long)(X % (long)pow(10, n_x0));
        long c = (long)(Y / pow(10, n_y0));
        long d = (long)(Y % (long)pow(10, n_y0));

        long E = bigIntMultiply_Nonideal(a, c, n_x1, n_y1);
        long F = bigIntMultiply_Nonideal(b, d, n_x0, n_y0);
        long G = bigIntMultiply_Nonideal((long)(a * pow(10, n_x0) - b), (long)(d - c * pow(10, n_y0)), n_x1, n_y1);

        return (long)(E * pow(10, (n_x0 + n_y0)) + (G + E * pow(10, (n_x0 + n_y0)) + F) + F);
    }
}

3. 运行结果展示

1. 理想状态下；
   
2. 非理想状态下；
   

（注：运行计算的整数并不足够大，这里仅仅是举个栗子！）

三、友情链接~

• 其它一些常见算法请参阅此链接~

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最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！