【贪心算法】单源最短路径（Dijkstra算法）（C++）

一、单源最短路径问题

1. 问题描述

• 给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。（V是顶点集合，E是边集合）
• 给定V中的一个顶点，称为源。
• 计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路径上各边权之和。

2. 算法分析

• Dijkstra算法：是解单源最短路径问题的贪心算法。

基本思想：

• 一个顶点属于集合S，当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

• 设置顶点集合S，并不断地作贪心选择来扩充这个集合。

• 贪心策略：每次都从V-S中找出具有最短特殊路长的顶点u加入S。

算法思路：

1. 初始时，S中仅含有源点。
2. 设u是G的某一个顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称为从源点到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
3. Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。
4. 一旦S包含了V中所有顶点，dist就记录了从源到其它所有顶点之间的最短路径长度。

举个例子：

• 对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其他顶点间最短路径的过程列在下面的表中。
  

[注]：有向图 --> 邻接矩阵

• 用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵；

• 每条有向边的起点i为行标，终点j为列标，权为值，存入矩阵第i行，第j列；
  矩阵其余项为∞。

• 以上例中的有向图为例：
  $$邻接矩阵A=[\begin{array}{cc}\infty & 10\\ \infty & \infty \\ \infty & \infty \\ \infty & \infty \\ \infty & \infty \end{array}$$