离散数学备考复习知识总结之 群

代数运算

二元运算

定义：集合上的任意两个元素做运算后还落在这个集合中，则该运算为在该集合上的二元运算。
性质：交换律，结合律，分配律（左右同时满足），消去律
特殊元：单位元（唯一），零元（唯一），逆元（互相为逆元）

群

半群

代数系统<G,**>在G上满足结合律升级为半群。

群

若上述系统关于运算*有单位元e，则该系统为有幺半群，若此时有幺半群中任何x都有逆元x-（上标），且在G中，则<G,*>为群。

总结一下：

对某代数系统证明其为群的步骤为：
1.证明运算为二元运算
2.证明结合律
3.证明单位元
4.证明逆元

方法为假设检验，假设后解出左右元唯一。

群的性质

有限群，无限群，平凡群
群的阶数：|G|
群中元素的次数，即使x的n次方等于e成立的最小正整数n
|a|=|a-1次方|
ak=lcm(k,n)/k

子群与陪集

子群

子群的判定：H是G的非空子集，则H是G的充分必要条件为：任意a,b∈H，有a*b-1∈H

生成子群

由一个元素和它的n次方生成的群{a,a1,an}∈G
子群的交集一定是爸爸群的子群，并集则需要满足相交的两个子群之间本身就要有包含关系。即是子群间相交部分才是爸爸群想要的子群。

陪集

左陪集：
从爸爸群里找元素，与H做运算，得到H的左陪集，同理右陪集
拉格朗日定理：子群的阶数一定是群的阶数的因数。
质数阶群必定为循环群

循环群

循环群是由一个生成元a和其n次幂组成
若a是无限次元，则群中有两个生成元，a和a-1
a是有限次元，则ak是生成元的条件是，k与n互质。
由拉格朗日定理：质数阶群都是循环群