欧拉函数思路

欧拉函数

phi( i ) = i * ( 1 - p1 ) * ( 1 - p2 ) ...... * (1 - pn )

这是欧拉公式直接表示，其中 p1,p2,p3...pn 代表 i 的素数因子

那么 我们这么想 欧拉函数表示的 是 某个数小于等于他的全部互质数字个数

假设一个数有一个 素因子 p，我们可以知道 对于这 i 个数字里p的倍数约占 1/p ，那么这个信息是怎么推测出来的呢？

因为 p 在作为素数前 是  i 的一个因子， i = k * p，那么 我们就可以知道 p 是素数 无法再被拆分，是作为因子最小的一个单元，

举几个小例子 1- 4 之内 2 的倍数占 1/2，很显而易见，对 n 也成立（奇数和偶数啊。偶数个数从1开始那么1-这个偶数之间内偶数个数肯定占一半），那么 看一下 3 : 6  9 12 15 ，其中3的倍数也占 1/3，其实这么想：

用一些离散的思想 以 1- 6 为例子 1 - 6 位 1 2 3 4 5 6 也看一看成 1 2 3 （1+3） （2+3）（3+3）这就是一个不断循环的过程，那么我们可以推测出 对于 3 这个是成立的，那么看一下 5 7 11 这样的数字。。。我们不妨大胆猜测，这些数字也是成立的，如果采用这种循环的思想，那么我们就可以得到一个类似定理一样的推测：

对于一个素数p， 他的倍数中可以被 这个素数整除的数字个数占全部数字的 1/p。

那么回到开始的欧拉函数哪里看

对于一个数 我们知道他有素数因子 p1,p2,p3...pn

那么对于这个数 x 我们知道 1-x 一共有 x 个数字，其中p1 倍数占 1/p1,p2倍数占 1/p2......

那么我们要找的互质数字很显然不能有因子，那么这些数字都应该被淘汰出去，根据概率思想

x（一共 x 个数字） * （1 - p1）去掉 p1 倍数 *（1-p2）去掉p2倍数。。。。

以此类推

我们得到了欧拉函数

phi ( x ) = x * (1 - p1) * (1 - p2) * (1 - p3)...... * (1 - pn)

当然这里只是卖弄下小聪明。。真正大牛有简单的证明环节 还有如何其他定理应用。。这里就不乱搞了。。

以下是大犇博客链接：https://blog.youkuaiyun.com/liuzibujian/article/details/81086324