欧拉函数思路

本文深入解析欧拉函数的计算原理,通过直观的离散数学思想,阐述了一个数与其互质数字之间的关系。通过理解素数因子对数字的影响,揭示了欧拉函数在数学领域的应用。

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欧拉函数

phi( i ) = i * ( 1 - p1 ) * ( 1 - p2 ) ...... * (1 - pn )

这是欧拉公式直接表示,其中 p1,p2,p3...pn 代表 i 的素数因子

那么 我们这么想 欧拉函数表示的 是 某个数小于等于他的全部互质数字个数

假设一个数有一个 素因子 p,我们可以知道 对于这 i 个数字里p的倍数约占 1/p ,那么这个信息是怎么推测出来的呢?

因为 p 在作为素数前 是  i 的一个因子, i = k * p,那么 我们就可以知道 p 是素数 无法再被拆分,是作为因子最小的一个单元,

举几个小例子 1- 4 之内 2 的倍数占 1/2,很显而易见,对 n 也成立(奇数和偶数啊。偶数个数从1开始那么1-这个偶数之间内偶数个数肯定占一半),那么 看一下 3 : 6  9 12 15 ,其中3的倍数也占 1/3,其实这么想:

用一些离散的思想 以 1- 6 为例子 1 - 6 位 1 2 3 4 5 6 也看一看成 1 2 3 (1+3) (2+3)(3+3)这就是一个不断循环的过程,那么我们可以推测出 对于 3 这个是成立的,那么看一下 5 7 11 这样的数字。。。我们不妨大胆猜测,这些数字也是成立的,如果采用这种循环的思想,那么我们就可以得到一个类似定理一样的推测:

对于一个素数p, 他的倍数中可以被 这个素数整除的数字个数占全部数字的 1/p。

那么回到开始的欧拉函数哪里看

对于一个数 我们知道他有素数因子 p1,p2,p3...pn

那么对于这个数 x 我们知道 1-x 一共有 x 个数字,其中p1 倍数占 1/p1,p2倍数占 1/p2......

那么我们要找的互质数字很显然不能有因子,那么这些数字都应该被淘汰出去,根据概率思想

x(一共 x 个数字) * (1 - p1)去掉 p1 倍数 *(1-p2)去掉p2倍数。。。。

以此类推

我们得到了欧拉函数

phi ( x ) = x * (1 - p1) * (1 - p2) * (1 - p3)...... * (1 - pn)

当然这里只是卖弄下小聪明。。真正大牛有简单的证明环节 还有如何其他定理应用。。这里就不乱搞了。。

以下是大犇博客链接:https://blog.youkuaiyun.com/liuzibujian/article/details/81086324

 

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