洛谷 P 3919 主席树模板

本文深入探讨可持久化线段树的原理与应用,介绍如何利用主席树优化空间,实现不同版本线段树的高效操作。通过具体实例代码,讲解节点更新与查询过程,适合算法学习者进阶。

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很简单可持久化线段树摸板题

在不同版本线段树下操作

1更新某个版本线段树的某个点

2求某个版本线段树某个点值

一看就是主席树,主席树现在学了一遍后感觉更加透彻了,这个东西我们可以知道

每个点可能有多个父节点,其实理论上应该是多个线段树,但是为了节约空间,对于一样的部分,两个线段树就可以共用一个子树,访问的时候也需要通过不同路径,而更新的时候,在这道题这里只需要更新相应版本的父节点就好了,所以可持久化线段树的节点间可就不是满足 lson = rt<<1 rson = rt<<1|1这种规律了,因为多个父节点多个子节点,所以我们用一个 tot 从 0 开始动态计数就好了。

以下是 AC 代码 运用结构体改变了一下,感觉看着更舒服了。

 

 

 

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 20000010;
struct node
{
    int l,r;
    int val;
}t[maxn];
int a[maxn];
int rt[maxn];
int tot=0,n,m;

void build(int &rt,int l,int r)
{
    rt = ++ tot;
    if(l == r)
    {
        t[rt].val = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l+r)/2;
    build(t[rt].l,l,mid);
    build(t[rt].r,mid+1,r);
}
void update(int &rt,int k,int l,int r,int x,int v)
{
    rt = ++tot;
    t[rt] = t[k];
    if(l == r)
    {
        t[rt].val = v;
        return;
    }
    int mid = (l+r)/2;
    if(x <= mid)
        update(t[rt].l,t[k].l,l,mid,x,v);
    else
        update(t[rt].r,t[k].r,mid+1,r,x,v);
}
int query(int rt,int l,int r,int x)
{
    if(l == r)
        return t[rt].val;
    else
    {
        int mid = (l+r)/2;
        if(x <= mid)
            return query(t[rt].l,l,mid,x);
        else
            return query(t[rt].r,mid+1,r,x);
    }
}
int rts,type,x,y;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    build(rt[0],1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&rts,&type,&x);
        rt[i] = rt[rts];
        if(type == 1)
        {
            scanf("%d",&y);
            update(rt[i],rt[i],1,n,x,y);
        }
        else
        {
            printf("%d\n",query(rt[rts],1,n,x));
        }
    }
    return 0;
}

 

### 关于洛谷 P1481 的字典 (Trie) 算法 #### 字典 (Trie) 数据结构简介 字典是一种用于高效存储和检索字符串集合的数据结构。它通过将公共前缀共享的方式来节省空间并提高查询效率。对于本题而言,字典的核心思想在于构建一棵多叉来表示一组单词的字符序列[^5]。 #### 构建字典的过程 在字典中,每个节点代表一个字符,而从根到某个节点的路径则构成了一部分字符串。以下是构建字典的主要过程: 1. **初始化**: 创建一个根节点 `root`。 2. **插入操作**: 将每一个单词逐字符插入字典中。如果当前字符不存在,则创建新的子节点;否则沿已有路径继续向下遍历直到完成整个单词的插入。 ```python class TrieNode: def __init__(self): self.children = {} self.is_end_of_word = False def insert(root, word): node = root for char in word: if char not in node.children: node.children[char] = TrieNode() node = node.children[char] node.is_end_of_word = True ``` #### 查询操作 为了判断某字符串是否存在或者统计某些特定条件下的匹配数量,可以通过递归或迭代的方式访问字典中的相应节点。例如,在此题目背景下可能需要计算满足一定约束条件下能够组成的合法串数。 #### 动态规划与状态转移方程 由于题目涉及到构造固定长度且包含指定数目关键词汇表内的任意组合形式的新字符串问题,因此除了单纯依靠字典外还需要引入动态规划的思想来进行求解。设 dp[i][j] 表示已经处理到了第 i 位,并且此时正好包含了 j 个目标词汇的情况总数,则有如下关系式成立: \[dp[i][j]=\sum_{w \in S} dp[i-len(w)][max(0,j-cnt[w])]\] 其中 \(S\) 是所有候选单词集,\(len(w)\) 和 \(cnt[w]\) 分别对应着单个词语本身的尺寸以及其贡献给最终计数值的部分大小[^4]。 #### 完整解决方案框架 综合以上分析我们可以给出这样一个完整的解决流程概述: - 初始化必要的辅助数组如 trie 结构体实例化对象; - 根据输入数据依次调用上述定义好的函数完成各项预处理工作比如建立索引映射关系等准备工作; - 使用双重循环枚举位置变量i及其关联参数k从而填充DP表格直至得出最后答案为止。 ```python MOD = int(1e9 + 7) trie_root = TrieNode() for word in words_set: insert(trie_root, word) # Initialize DP table with dimensions [N+1][K+1], where N is max length of string to be formed, # K represents number of distinct required substrings. dp = [[0]*(k_max+1) for _ in range(n_max+1)] dp[0][0] = 1 for l in range(1, n_max+1): for c in alphabet: current_node = trie_root temp_dp = list(dp[l]) # Traverse through possible prefixes ending at position 'l' prefix_length = 0 while current_node and prefix_length <= l: new_k = min(k_max, k_found[current_node]) if new_k >=0 : temp_dp[new_k]=(temp_dp[new_k]+dp[l-prefix_length][new_k-count(current_node)])% MOD if c in current_node.children: current_node=current_node.children[c] prefix_length+=1 else: break dp[l]=temp_dp[:] result=sum([d[k_target]%MOD for d in dp[n]]) print(result) ```
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