主席树【可持久化线段树/函数式线段树/n棵线段树】
目录
一. 概念理解
- 离线数据结构
- 可以查询区间第k大
- 复杂度log(n)
1.求所有数字中的第k大数？
先将所有数字离散化【排序+去重】（所以是离线）。
对离散化后的数字建立一颗线段树，每个节点【 统计当前范围内的数的个数 】 。
自顶向下查找，如果左边区间个数大于等于k则在左边，小于则在右边（从大到小排序）。
2.求任意一段区间 [ L , r ]中的第k大数？
建立n棵线段树，每棵维护 [ 1 , i ] 的数字出现情况。
则 [ L , R ] = [ 1 , R ] - [ 1 , L - 1 ] (前缀和思想)。
3.会不会空间超限？
n棵线段树，每棵2n个点，怎么也是n^2的空间？
优化方法：注意到每棵新树都转移到上一棵树，只是改了一条从某叶子到根节点的路径 。
那么除了这条路径，其他的都可以直接从上一棵树上转移过来
大概就长这样了 ↓↓↓ 总共只用维护一棵树。空间复杂度O(nlogn)。
（ 这个添加过程可以看做是：“链ys”加入“初始树xs”，即加入第一个元素 f 的过程 ）
（d',g',f'都是新树相对于原树有修改的点，增加结点编号，把新旧结点都储存下来 ）
当然，看到这里还是难以理解（反正本蒟蒻是没懂qaq）
那就让本蒟蒻手动模拟一下试试吧...（像素渣&&字渣无误）
- 以序列 4 1 3 2 为例，查询区间 [ 2,4 ] 中第3小的数。
用num[ ]记录原序列。首先“离散化+排序判重”，得到排序后的s数组 1 2 3 4 。
先确定初始线段树状态，再按照num[ ]的顺序，将 4 1 3 2 依次存入线段树中。
ONE POINT{很重要的理解}：下图圆圈内的数就是线段树存的权值，代表着：
统计（按照排名记录的区间）区间 [ i , j ] 中，已经存入的原序列的数（num[ ]）的个数。
底层叶子节点记录的是，这个排名位置的数是否已经在树中建立。
0代表还没有建立，1表示已经建立，同时关联的上方管理数组的权值也会相应改变。
下面来模拟建树过程——
（状态1）原始空线段树，所有点的权值都为零。
（状态2）插入num[1]=4，到排序后它应该在的4号位置（是第四小的数）。
第一棵修改树可以用根节点序号标记为root[1]=8（具体root的实现看后面）。
（状态3）插入num[2]=1，到排序后它应该在的1号位置（是第一小的数）。
（状态4）插入num[3]=3，到排序后它应该在的3号位置（是第三小的数）。
（状态5）插入num[4]=2，到排序后它应该在的2号位置（是第二小的数）。
这样，未优化空间的、插入元素使用的、5棵树就建好了。
为优化空间，可以使用树的合并（就是上面第三大点说的【优化空间复杂度】）。
主席树的两个主要函数：插入和合并。
插入：动态开点。很多时候线段树维护的区间很大，而能定义的空间是有限的，
所以我们就只给那些有用的点一个编号就可以了（只有在修改时被访问过的点才是有用的）。
虽然这样的线段树是残缺不全的，但也还是线段树。
合并：当两棵线段树的下标和维护的范围大小都一样，这两棵线段树就可以合并。
（null表示还没有存入的节点，圆圈中的数表示存储的下方的已插入结点的个数）
（图中最下方的数字指的是离散化后的排名情况...）
对于每个位置都建一颗线段树，其实是一条链。
然后再按照顺序把线段树都合并起来。第 i 棵线段树维护的就是 1~i 区间的信息。
通过合并可以知道，线段树满足可加性，那么得到的信息肯定可以相减。（↓前缀和思想）
对于每一次询问通过第 r 棵线段树和第 ( l - 1 ) 棵线段树作差，即可得到该区间的信息。
因为我们是以离散数组构建的主席树，那么从根节点出发，左子树部分的数必定不大于右子树部分的数。
于是就可以将左儿子的节点个数 x 与 k 做比较，若 k≤x，则第 k 小值一定在左子树里面，
若 x≤k，则第 k 小值一定在右子树里面，然后递归往下走，缩小范围。
注意，前者递归时， k 直接传下去即可，后者递归时，需要将 k 减去左子树的数的个数再传递这个 k 值。
例如我们查找 [1,4] 中第 2 小的值，图示如下，绿色节点为该值存在的区间位置。
↑↑↑ 需要注意的是，第二个绿色节点才是绿色根节点的左子树，因为左子树表示的区间是靠前的那一半。
方法步骤总结：
现在我们真正来解决区间询问 [ l , r ] 的问题。
解决方案就是将主席树 [1,r] 减去主席树 [1,l−1] 。
首先看到主席树的底层，全部是对数字个数的统计。
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