215. 数组中的第K个最大元素

1. 题号和题目名称

215. 数组中的第K个最大元素

2. 题目叙述

给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
你必须设计并实现时间复杂度为 $O(n)$ 的算法解决此问题。

3. 模式识别

本题的核心是在无序数组中找出第 k 大的元素。可以联想到排序相关的算法，不过要满足 $O(n)$ 时间复杂度，需要使用一些特殊的算法，如快速选择算法或堆排序。

4. 考点分析

• 排序算法的理解：对常见排序算法（如快速排序、堆排序）的原理和复杂度有深入理解。
• 分治思想：快速选择算法基于分治思想，需要掌握分治算法的设计和实现。
• 数据结构的运用：堆排序需要使用堆这种数据结构，要理解堆的性质和操作。

5. 所有解法

解法一：排序法

将数组进行排序（如使用快速排序、归并排序等），然后直接返回第 k 大的元素。这种方法的时间复杂度为 $O(nlogn)$，不满足题目要求的 $O(n)$ 复杂度。

解法二：堆排序

使用堆来维护前 k 大的元素。可以使用最小堆，遍历数组，将元素依次加入堆中，当堆的大小超过 k 时，移除堆顶元素（最小元素）。最后堆顶元素即为第 k 大的元素。时间复杂度为 $O(nlogk)$。

解法三：快速选择算法

这是本题的最优解法。快速选择算法基于快速排序的思想，通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，根据基准元素的位置和 k 的大小关系，决定在左半部分或右半部分继续查找，平均时间复杂度为 $O(n)$。

6. 最优解法（快速选择算法）的 C 语言代码

#include <stdio.h>

// 交换两个元素的函数
void swap(int *a, int *b) {
    int tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

// 快速选择函数，用于查找第 k 小的元素
int quickselect(int *nums, int l, int r, int k) {
    if (l == r)
        return nums[l];  // 修正此处，返回 nums[l]
    int partition = nums[l];
    int i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j) {
        do i++; while (nums[i] < partition);
        do j--; while (nums[j] > partition);
        if (i < j) {
            swap(&nums[i], &nums[j]);
        }
    }
    if (k <= j)
        return quickselect(nums, l, j, k);
    else
        return quickselect(nums, j + 1, r, k);
}

// 查找第 k 大的元素
int findKthLargest(int *nums, int numsSize, int k) {
    return quickselect(nums, 0, numsSize - 1, numsSize - k);
}

7. 复杂度分析

• 时间复杂度：平均情况下为 $O(n)$，最坏情况下为 $O(n^2)$。在每次分区操作中，能够将问题规模大致缩小一半，因此平均时间复杂度为线性。
• 空间复杂度：平均情况下为 $O(logn)$，最坏情况下为 $O(n)$。主要的空间开销在于递归调用栈的深度。