213. 打家劫舍 II

1. 题号和题目名称

213. 打家劫舍 II

2. 题目叙述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

3. 模式识别

这是一个动态规划问题。由于房屋围成一圈，偷窃第一间房屋和最后一间房屋不能同时发生，因此可以将问题拆分成两个子问题：

• 不偷窃第一间房屋，计算从第二间房屋到最后一间房屋能偷窃到的最大金额。
• 不偷窃最后一间房屋，计算从第一间房屋到倒数第二间房屋能偷窃到的最大金额。

最后取这两个子问题结果的最大值。

4. 考点分析

• 动态规划思想：需要找出状态转移方程来解决问题。
• 边界条件处理：处理好房屋数量较少时的边界情况。
• 问题拆分：将环形问题拆分成两个线性问题。

5. 所有解法

解法一：动态规划拆分问题

将问题拆分成两个线性的打家劫舍问题，分别计算不包含第一间房屋和不包含最后一间房屋的最大偷窃金额，然后取最大值。

解法二：暴力枚举（不推荐）

枚举所有可能的偷窃方案，判断是否触发警报并记录最大金额，但时间复杂度非常高，为指数级。

6. 最优解法（动态规划拆分问题）的 C 语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 计算线性数组的最大偷窃金额
// nums: 代表每个房屋存放金额的数组
// start: 数组的起始索引
// end: 数组的结束索引
int robRange(int* nums, int start, int end) {
    int prev = 0;  // 前一个状态的最大偷窃金额
    int curr = 0;  // 当前状态的最大偷窃金额
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        int temp = curr;
        // 当前状态的最大偷窃金额为不偷当前房屋（curr）和偷当前房屋（prev + nums[i]）的最大值
        curr = (prev + nums[i]) > curr ? (prev + nums[i]) : curr;
        prev = temp;
    }
    return curr;
}

// 计算环形房屋的最大偷窃金额
// nums: 代表每个房屋存放金额的数组
// numsSize: 数组的长度
int rob(int* nums, int numsSize) {
    if (numsSize == 0) return 0;  // 如果没有房屋，最大偷窃金额为 0
    if (numsSize == 1) return nums[0];  // 如果只有一间房屋，最大偷窃金额就是该房屋的金额

    // 不偷窃第一间房屋，计算从第二间房屋到最后一间房屋的最大偷窃金额
    int robWithoutFirst = robRange(nums, 1, numsSize - 1);
    // 不偷窃最后一间房屋，计算从第一间房屋到倒数第二间房屋的最大偷窃金额
    int robWithoutLast = robRange(nums, 0, numsSize - 2);

    // 返回两种情况的最大值
    return robWithoutFirst > robWithoutLast ? robWithoutFirst : robWithoutLast;
}

7. 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是房屋的数量。因为只需要遍历数组两次。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了常数级的额外空间。