152. 乘积最大子数组

152. 乘积最大子数组

题目叙述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

子数组 是数组的连续子序列。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

模式识别

此问题适合使用动态规划来解决。因为要求连续子数组的最大乘积，在遍历数组的过程中，子问题会不断重复出现，且全局最优解可以由子问题的最优解推导得出，符合动态规划的重叠子问题和最优子结构特性。

考点分析

• 动态规划思想：要将求整个数组的最大乘积子数组问题，分解为求以每个位置结尾的子数组的最大乘积问题。
• 正负性处理：由于负数的存在，当前的最小乘积乘以一个负数可能会变成最大乘积，所以在动态规划过程中，需要同时记录最大乘积和最小乘积。

所有解法

1. 暴力枚举法：遍历数组中所有可能的连续子数组，计算每个子数组的乘积，然后找出最大的乘积。时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。
2. 动态规划法：定义状态，记录以每个位置结尾的子数组的最大乘积和最小乘积，通过状态转移方程更新这两个值，最终得到最大乘积。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

C 语言最优解法代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 函数用于找出数组中乘积最大的非空连续子数组的乘积
int maxProduct(int* nums, int numsSize) {
    // 如果数组为空，直接返回 0
    if (numsSize == 0) {
        return 0;
    }

    // 初始化最大乘积为数组的第一个元素
    int maxProductSoFar = nums[0];
    // 初始化当前的最大乘积为数组的第一个元素
    int currentMax = nums[0];
    // 初始化当前的最小乘积为数组的第一个元素
    int currentMin = nums[0];

    // 从数组的第二个元素开始遍历
    for (int i = 1; i < numsSize; i++) {
        // 临时保存当前的最大乘积
        int prevMax = currentMax;
        // 更新当前的最大乘积，考虑三种情况：当前元素本身、当前元素乘以之前的最大乘积、当前元素乘以之前的最小乘积
        currentMax = (nums[i] > nums[i] * prevMax)? (nums[i] > nums[i] * currentMin? nums[i] : nums[i] * currentMin) : (prevMax * nums[i] > nums[i] * currentMin? prevMax * nums[i] : nums[i] * currentMin);
        // 更新当前的最小乘积，同样考虑三种情况
        currentMin = (nums[i] < nums[i] * prevMax)? (nums[i] < nums[i] * currentMin? nums[i] : nums[i] * currentMin) : (prevMax * nums[i] < nums[i] * currentMin? prevMax * nums[i] : nums[i] * currentMin);
        // 更新全局最大乘积
        if (currentMax > maxProductSoFar) {
            maxProductSoFar = currentMax;
        }
    }

    // 返回最大乘积
    return maxProductSoFar;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。只需要对数组进行一次遍历。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了常数级的额外空间来保存当前的最大乘积、最小乘积和全局最大乘积。