18.深度优先搜索

风中的微尘

已于 2024-10-18 22:13:51 修改

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分类专栏：算法竞赛讲义文章标签：深度优先算法 c++

于 2023-02-01 00:06:01 首次发布

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深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法，通常用递归实现。它通过不断尝试并回溯来穷举所有可能的解决方案。剪枝是优化搜索过程的关键，减少不必要的计算。文章提供了迷宫问题的DFS解决实例，展示算法模板和具体实现步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、算法内容

1.简介

深度优先搜索 DFS（Depth First Search）按照深度优先的方式进行搜索，可以理解为“一条路走到黑”地穷举所有可行的方案，并不断尝试，直到找到一种情况满足问题的要求。那么这个方案就是一个问题的解。

2.递归与回溯

深度优先搜索可以用递归实现，而且几乎都是用递归实现，所以要学会深度优先搜索，首先必须要学会递归。但切忌将递归与深度优先搜索混为一谈。深度优先搜索和递归的区别是：深度优先搜索是一种算法，注重的是思想；而递归是一种基于编程语言的实现方式。

深度优先搜索最重要地就是回溯，它的作用是将状态恢复到上一级。你可以想象小时候玩迷宫游戏的行为，选择某一些路径进行尝试，如果不行就倒回来走其他的地方，这样倒回去的操作就是回溯。只有不断地尝试，不断地回溯才是一个完整的深度优先搜索。

如果将搜索的过程画出来，那么它就像一棵树，每一个结点都有相应的状态，分别代表了一种可能性。之所以叫做深度优先，是因为我们总是走到树的叶子处才开始返回，在树上就是先往深的地方走。

在这里插入图片描述

3.剪枝

在我们搜索的时候，理论上我们需要把所有的情况都考虑到，但是实际上，有一些情况我们不需要走到尽头就知道这是不合理的。就像走到树上的某一个位置之后，我们知道接下来无论走到哪里都不可能得到正确的答案了，那么就可以直接返回，相当于剪掉了搜索树上的一根树枝。

在这里插入图片描述

剪枝是搜索的精髓所在，如何更好地找到剪枝的策略会极大影响程序的时间复杂度。剪枝一般分为以下三种：

可行性剪枝：如果按照这样的方案继续下去，不可能满足题目条件，那么剪枝。
最优性剪枝：如果按照这样的方案继续下去，不可能比当前答案更优，那么剪枝。
重复性剪枝：如果按照这样的方案继续下去，与此前某些时候相同，那么剪枝。

二、算法实现

1.算法模板

参数 dfs(变量)
{
    判断终点:
    	检查答案;
        返回;
    剪枝1:
    	返回;
    剪枝2:
    	返回;
    ...
    枚举:
    	条件检测:
            更新状态1;
            更新状态2;
            ...
            dfs();
            恢复状态1;
            恢复状态2;
    		...
}

2.实例剖析：P1605 迷宫

（1）限定条件

不能走出迷宫，即任何时候，当前坐标 $(x, y)$ 满足 $1\leq x\leq n,1\leq y\leq m$ 。
当走到终点的时候记录一次答案，并停止该分支。
不能走到障碍物上面。
注意不要原路返回，否则将进入无限循环。

（2）更新状态

若当前坐标为 $(x, y)$ ，则下一步的坐标即为 $(x - 1, y), (x + 1, y), (x, y - 1), (x, y + 1)$ 。我们需要在限定条件内走到这些位置。

而我们的状态分为两部分构成，结合这两个状态我们就可以唯一标识一种情况：

第一部分：显然我们当前的坐标是我们的一个状态。
第二部分：为了保证我们不要进入循环，我们需要标记我们的来路，这就是第二部分的状态。

（3）正解代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib> 
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dx[4]={0, 0, 1, -1}, dy[4] = {-1, 1, 0, 0};
ll mp[10][10];
ll ans, t, n, m;
ll fx, fy, sx, sy;
void dfs(ll x, ll y)
{
    if(x == fx && y == fy)
    {
        ans++;
        return;
    }
    else
    {
        for(ll i = 0; i < 4; i++)
        {
        	ll tx = x + dx[i], ty = y + dy[i];
            if(tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m && mp[tx][ty] == 0)
            {
            	mp[tx][ty] = 1;
                dfs(tx, ty);
                mp[tx][ty] = 0;
            }
        } 
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> t;
    cin >> sx >> sy >> fx >> fy;
    for(ll i = 1; i <= t; i++)
    {
    	ll x, y;
        cin >> x >> y;
        mp[x][y] = 1;
    }
    mp[sx][sy] = 1;
    dfs(sx, sy);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}