18.深度优先搜索

深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法,通常用递归实现。它通过不断尝试并回溯来穷举所有可能的解决方案。剪枝是优化搜索过程的关键,减少不必要的计算。文章提供了迷宫问题的DFS解决实例,展示算法模板和具体实现步骤。

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一、算法内容

1.简介

深度优先搜索 DFS(Depth First Search)按照深度优先的方式进行搜索,可以理解为“一条路走到黑”地穷举所有可行的方案,并不断尝试,直到找到一种情况满足问题的要求。那么这个方案就是一个问题的解。

2.递归与回溯

深度优先搜索可以用递归实现,而且几乎都是用递归实现,所以要学会深度优先搜索,首先必须要学会递归。但切忌将递归与深度优先搜索混为一谈。深度优先搜索和递归的区别是:深度优先搜索是一种算法,注重的是思想;而递归是一种基于编程语言的实现方式。

深度优先搜索最重要地就是回溯,它的作用是将状态恢复到上一级。你可以想象小时候玩迷宫游戏的行为,选择某一些路径进行尝试,如果不行就倒回来走其他的地方,这样倒回去的操作就是回溯。只有不断地尝试,不断地回溯才是一个完整的深度优先搜索。

如果将搜索的过程画出来,那么它就像一棵树,每一个结点都有相应的状态,分别代表了一种可能性。之所以叫做深度优先,是因为我们总是走到树的叶子处才开始返回,在树上就是先往深的地方走。

在这里插入图片描述

3.剪枝

在我们搜索的时候,理论上我们需要把所有的情况都考虑到,但是实际上,有一些情况我们不需要走到尽头就知道这是不合理的。就像走到树上的某一个位置之后,我们知道接下来无论走到哪里都不可能得到正确的答案了,那么就可以直接返回,相当于剪掉了搜索树上的一根树枝。

在这里插入图片描述

剪枝是搜索的精髓所在,如何更好地找到剪枝的策略会极大影响程序的时间复杂度。剪枝一般分为以下三种:

  • 可行性剪枝:如果按照这样的方案继续下去,不可能满足题目条件,那么剪枝。
  • 最优性剪枝:如果按照这样的方案继续下去,不可能比当前答案更优,那么剪枝。
  • 重复性剪枝:如果按照这样的方案继续下去,与此前某些时候相同,那么剪枝。

二、算法实现

1.算法模板

参数 dfs(变量)
{
    判断终点:
    	检查答案;
        返回;
    剪枝1:
    	返回;
    剪枝2:
    	返回;
    ...
    枚举:
    	条件检测:
            更新状态1;
            更新状态2;
            ...
            dfs();
            恢复状态1;
            恢复状态2;
    		...
}

2.实例剖析:P1605 迷宫

(1)限定条件

  • 不能走出迷宫,即任何时候,当前坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 满足 1 ≤ x ≤ n , 1 ≤ y ≤ m 1\leq x\leq n,1\leq y\leq m 1xn,1ym
  • 当走到终点的时候记录一次答案,并停止该分支。
  • 不能走到障碍物上面。
  • 注意不要原路返回,否则将进入无限循环。

(2)更新状态

若当前坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y),则下一步的坐标即为 ( x − 1 , y ) , ( x + 1 , y ) , ( x , y − 1 ) , ( x , y + 1 ) (x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1) (x1,y),(x+1,y),(x,y1),(x,y+1)。我们需要在限定条件内走到这些位置。

而我们的状态分为两部分构成,结合这两个状态我们就可以唯一标识一种情况:

  • 第一部分:显然我们当前的坐标是我们的一个状态。
  • 第二部分:为了保证我们不要进入循环,我们需要标记我们的来路,这就是第二部分的状态。

(3)正解代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib> 
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dx[4]={0, 0, 1, -1}, dy[4] = {-1, 1, 0, 0};
ll mp[10][10];
ll ans, t, n, m;
ll fx, fy, sx, sy;
void dfs(ll x, ll y)
{
    if(x == fx && y == fy)
    {
        ans++;
        return;
    }
    else
    {
        for(ll i = 0; i < 4; i++)
        {
        	ll tx = x + dx[i], ty = y + dy[i];
            if(tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m && mp[tx][ty] == 0)
            {
            	mp[tx][ty] = 1;
                dfs(tx, ty);
                mp[tx][ty] = 0;
            }
        } 
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> t;
    cin >> sx >> sy >> fx >> fy;
    for(ll i = 1; i <= t; i++)
    {
    	ll x, y;
        cin >> x >> y;
        mp[x][y] = 1;
    }
    mp[sx][sy] = 1;
    dfs(sx, sy);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
} 

三、作业

1.橙题

P1605 迷宫

P1036 [NOIP2002 普及组] 选数

P2392 kkksc03考前临时抱佛脚

P2036 [COCI2008-2009#2] PERKET

P1010 [NOIP1998 普及组] 幂次方

P1162 填涂颜色

2.黄题

P1019 [NOIP2000 提高组] 单词接龙

P1219 [USACO1.5]八皇后 Checker Challenge

P1259 黑白棋子的移动

P1434 [SHOI2002] 滑雪

P1443 马的遍历

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